In den frühen 1840er Jahren arbeitete der irische Mathematiker William Rowan Hamilton fünfzehn Jahre an dem Versuch, die komplexen Zahlen — die die Geometrie der Ebene beschreiben — zu einer ähnlichen Algebra für den dreidimensionalen Raum zu erweitern. Er scheiterte ein ums andere Mal. Am 16. Oktober 1843, beim Spaziergang mit seiner Frau am Royal Canal in Dublin, kam ihm die Antwort: gib drei Dimensionen auf und nimm vier. Er ritzte die Multiplikationsregeln der so entstandenen Quaternionen in den Stein der Brougham Bridge. Die Quaternionen funktionierten, aber sie waren seltsam — die Multiplikation war nicht kommutativ, und der Apparat war den Physikern zu schwer. Bis in die 1880er hatten J. Willard Gibbs in Amerika und Oliver Heaviside in England Hamiltons Maschinerie auf Vektoren und Skalare eingedampft, mit zwei Produkten (dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt), die die Geometrie des dreidimensionalen Raums sauber bewältigten. Die moderne Vektorschreibweise ist im Wesentlichen ihr Kompromiss.
Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil mit Fuß im Ursprung — ein Objekt mit Betrag (Länge) und Richtung. Algebraisch ist ein Vektor im n-dimensionalen Raum ein geordnetes Tupel aus Zahlen (v₁, v₂, ..., vₙ) — seine Komponenten entlang gewählter Koordinatenachsen. Aus diesem Minimum werden drei Operationen definiert. Addition: Vektoren addieren sich komponentenweise, geometrisch, indem man den Fuß des einen an die Spitze des anderen setzt (Parallelogrammgesetz). Skalarmultiplikation: einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren streckt ihn (oder kehrt ihn um, ist der Skalar negativ). Skalarprodukt: u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... = ‖u‖·‖v‖·cos(θ) — zugleich ein Maß für Projektion und für den Winkel zwischen Vektoren — und die Quelle der Betragsformel ‖v‖ = √(v · v), Pythagoras im neuen Gewand. Kreuzprodukt (nur in 3D): u × v ist ein Vektor senkrecht zu beiden u und v mit Betrag ‖u‖·‖v‖·sin(θ); es erfasst Fläche, Drehmoment, Drehimpuls und die Rechte-Hand-Regel der physikalischen Konventionen. Der begriffliche Sprung von Hamilton/Gibbs zur modernen Mathematik ist der Vektorraum: jede Menge von Objekten, die sich addieren und mit Zahlen skalieren lassen und acht Axiome erfüllen (Assoziativität, Distributivität, neutrales Element usw.). Funktionen bilden einen Vektorraum. Lösungen einer linearen Differentialgleichung bilden einen Vektorraum. Quantenmechanische Zustände bilden einen Vektorraum — einen komplexen, der Hilbert-Raum heißt. Die lineare Algebra ist die Lehre von diesen Räumen und ihren linearen Abbildungen, und es zeigt sich: fast jedes Rechenproblem, das du günstig lösen kannst, lässt sich genau deshalb günstig lösen, weil es linear ist.
Die moderne Physik ist ohne Vektoren im Grunde nicht zu denken: Kräfte, Geschwindigkeiten, Impulse, elektrische und magnetische Felder sind allesamt Vektorgrößen. Die Computergrafik bewegt Vektoren für jede Position, jede Normale, jedes Licht und jede Kamera in einer gerenderten Szene. Das maschinelle Lernen läuft auf Merkmalsvektoren — jede Eingabe in jedes Modell ist letztlich ein Vektor. Wort-Einbettungen (word2vec, GloVe) stellen Wörter als Vektoren in einem hochdimensionalen Raum dar, in dem geometrische Beziehungen semantische codieren. Transformer-Modelle operieren auf Vektor-Repräsentationen von Tokens und kombinieren sie über Skalarprodukte im Inneren des Attention-Mechanismus. Der Vektor — einst ein Stück esoterischer irischer Algebra — ist heute der universelle Datentyp des rechnerischen Denkens.