Trigonometrie

Ein Winkel, als Zahl gelesen: Sinus und Kosinus übersetzen zwischen der Geometrie des Dreiecks und der Physik der Welle — sie sind die unzerlegbaren Atome alles Periodischen.

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Der Beitrag

Um 140 v. Chr. legte der griechische Astronom Hipparchos von Rhodos die erste bekannte Sehnentafel an: zu jedem Winkel die Länge der Sehne, die die Enden des zugehörigen Kreisbogens verbindet. Geometrie um ihrer selbst willen trieb er nicht — er wollte die Örter der Sterne vorausberechnen. Die Trigonometrie kam als Magd der Astronomie zur Welt, und zwei Jahrtausende lang gingen beide Fächer Hand in Hand. Im sechsten Jahrhundert machte der indische Mathematiker Aryabhata aus der Sehne den heutigen Sinus; die Araber fügten Tangens und Kotangens hinzu; Regiomontanus holte das Instrumentarium im fünfzehnten Jahrhundert nach Europa. Und Leonhard Euler brachte im achtzehnten Jahrhundert alles in die Form, in der es bis heute gelehrt wird: die Definitionen am Einheitskreis.

Sinus, Kosinus und Tangens sind Funktionen eines Winkels. Auf dem Einheitskreis — Radius 1, Mittelpunkt im Ursprung — trifft der Winkel θ, von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn abgetragen, den Punkt (cos θ, sin θ); der Tangens sin θ / cos θ ist die Steigung der Geraden vom Ursprung dorthin. Mehr braucht es nicht — alles Weitere entfaltet sich daraus: der trigonometrische Pythagoras sin²θ + cos²θ = 1 — der Satz des Pythagoras, am Einheitskreis abgelesen —, die Additionstheoreme wie sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β, die Formeln für Doppelwinkel und Halbwinkel, die Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan. Die tiefere Struktur legt die Eulersche Formel frei, e^(iθ) = cos θ + i·sin θ — die schönste Gleichung der Mathematik. Sie besagt: Sinus und Kosinus sind Real- und Imaginärteil einer komplexen Exponentialfunktion. Der unübersichtliche Wald der Identitäten schrumpft damit auf schlichtes Rechnen mit Exponentialausdrücken zusammen. Und der Weg zur Fourier-Analyse ist von hier aus kurz: Jede periodische Funktion lässt sich als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen schreiben — Sinus und Kosinus sind die unzerlegbaren Atome alles Periodischen. Deshalb ist Trigonometrie überall im Spiel, wo Wellen sind: Schall, Licht, elektromagnetische Strahlung, Wasser, die Wellenfunktionen der Quantenmechanik — jedes schwingende System der Physik spricht diese Sprache.

Warum jetztDie moderne Audio- und Bildkompression — MP3, JPEG, H.265 — baut auf der Fourier-Transformation auf, und die auf der Trigonometrie. Die Computergrafik braucht Sinus und Kosinus für jede Drehung im Raum. Die Kinematik der Robotik — wo endet der Arm, wenn die Gelenkwinkel so und so stehen? — ist angewandte Trigonometrie. Musiktheorie und digitale Klangsynthese fassen Tonhöhen als Frequenzen und Klangfarben als Schichtungen von Sinusschwingungen. GPS, Radar, Sonar und seismische Bildgebung lesen die Welt aus trigonometrischen Phasenbeziehungen. Die Tafeln, die Hipparchos vor einundzwanzig Jahrhunderten von Hand rechnete, tragen die Geometrie fast jedes Signals in sich, das Menschen heute verarbeiten.