Um 140 v. Chr. stellte der griechische Astronom Hipparchos von Rhodos die erste bekannte Sehnentafel zusammen — für jeden Winkel im Kreis die Länge der Strecke, die die beiden Enden des zugehörigen Bogens verbindet. Er trieb nicht Geometrie um ihrer selbst willen, er versuchte, die Positionen der Sterne vorherzusagen. Die Trigonometrie kam als Dienerin der Astronomie zur Welt, und über die folgenden zweitausend Jahre bewegten sich die beiden Fächer im Gleichschritt. Der indische Mathematiker Aryabhata verfeinerte die Sehne im sechsten Jahrhundert zur modernen Sinusfunktion. Die Araber führten Tangens und Kotangens ein. Regiomontanus brachte den Apparat im fünfzehnten Jahrhundert nach Europa. Leonhard Euler goss im achtzehnten Jahrhundert alles in die Einheitskreis-Definitionen, die wir heute noch lehren.
Sinus, Kosinus und Tangens sind Funktionen eines Winkels. Auf dem Einheitskreis — dem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung — landet der gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessene Winkel θ am Punkt (cos θ, sin θ). Der Tangens ist sin θ / cos θ, die Steigung der Geraden vom Ursprung zu diesem Punkt. Aus diesem Minimum rollt sich der Rest der Trigonometrie auf: die pythagoreische Identität sin²θ + cos²θ = 1 (Pythagoras, auf dem Einheitskreis); die Additionsformeln sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β; Doppelwinkel- und Halbwinkel-Identitäten; Umkehrfunktionen (arcsin, arccos, arctan). Die tiefere Struktur tritt durch die Eulersche Formel hervor: e^(iθ) = cos θ + i·sin θ, die schönste Gleichung der Mathematik, die besagt, dass die trigonometrischen Funktionen Real- und Imaginärteil einer komplexen Exponentialfunktion sind. Mit der Eulerschen Formel wandelt sich der verwirrende Wald an Identitäten in ein Dickicht aus gewöhnlichen algebraischen Umformungen von Exponentialen. Die Verbindung zur Fourier-Analyse ist dann unmittelbar: jede periodische Funktion zerlegt sich in eine Summe aus Sinus und Kosinus, was heißt, dass Sinus und Kosinus die unteilbaren Atome periodischer Erscheinungen sind. Darum taucht die Trigonometrie überall dort auf, wo Wellen sind: jedes schwingende System der Physik — Schall, Licht, elektromagnetische Strahlung, Wasser, quantenmechanische Wellenfunktionen — spricht die Sprache aus Sinus und Kosinus.
Moderne Audio- und Bildkompression (MP3, JPEG, H.265) ruht auf Fourier-Transformationen, die wiederum auf der Trigonometrie ruhen. Die Computergrafik nutzt trigonometrische Funktionen für jede Drehung im dreidimensionalen Raum. Die Roboter-Kinematik — herauszufinden, wo das Ende eines Roboterarms steht, wenn man die Gelenkwinkel kennt — ist angewandte Trigonometrie. Musiktheorie und digitale Klangsynthese beschreiben Tonhöhen als Frequenzen und Klangfarben als Kombinationen von Sinuswellen. GPS, Radar, Sonar und seismische Bildgebung lesen die Welt sämtlich über trigonometrische Phasenbeziehungen. Die kleinen Tafeln, die Hipparchos vor einundzwanzig Jahrhunderten von Hand berechnete, codieren, wie sich zeigte, die Geometrie nahezu jedes Signals, das Menschen heute verarbeiten.