Topologie

Man nehme eine Kaffeetasse, man nehme einen Donut, man blinzle: dieselbe Form. Das eine wie das andere ist ein massiver Klumpen, durch den genau ein Loch führt, und eine hinreichend biegsame Tasse ließe sich stetig zum Donut verformen — nichts reißt, nichts wird verklebt. Von dem, was solche Verformungen unbeschadet übersteht, handelt die Topologie: von den Eigenschaften einer Form, denen Abstand, Winkel und Größe gleichgültig sind und die allein davon abhängen, welche Punkte welchen anderen nahe liegen. Entstanden ist das Fach im späten neunzehnten Jahrhundert aus Arbeiten von Listing, Möbius und Riemann — und vor allem von Henri Poincaré, dessen Abhandlung Analysis Situs von 1895 die algebraische Topologie begründete: das Programm, Räumen algebraische Invarianten zuzuordnen, sodass zwei Räume verschieden sein müssen, sobald sich ihre Invarianten unterscheiden. Kaum ein Ordnungsprinzip, das die Mathematik hervorgebracht hat, reicht weiter.

Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie τ von Teilmengen, den offenen Mengen, an die nur drei Forderungen gestellt werden: X und die leere Menge sind offen; der Schnitt endlich vieler offener Mengen ist offen; die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Mit dieser kargen Ausstattung kommt das ganze Fach aus. Stetigkeit etwa braucht keine Abstände mehr: f: X → Y ist stetig genau dann, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Zusammenhang: Ein Raum heißt zusammenhängend, wenn er nicht in zwei disjunkte, nichtleere offene Mengen zerfällt. Kompaktheit: Aus jeder offenen Überdeckung lässt sich eine endliche auswählen — die Verallgemeinerung des Satzes von Heine-Borel. Hausdorff (Trennungsaxiom T₂) heißt ein Raum, in dem je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen. Der Homöomorphismus — eine stetige Bijektion mit stetiger Umkehrung — liefert den topologischen Begriff der Gleichheit: Kaffeetasse und Donut sind homöomorph. Dass zwei Räume nicht homöomorph sind, zeigt man mit topologischen Invarianten — Eigenschaften, die jeder Homöomorphismus erhält und in denen sich die beiden unterscheiden: die Zahl der Zusammenhangskomponenten, die Euler-Charakteristik (V − E + F beim Polyeder), die Fundamentalgruppe der Schleifen bis auf Deformation, höhere Homotopiegruppen, Homologiegruppen. Mannigfaltigkeiten sind Räume, die im Kleinen wie ℝⁿ aussehen — Flächen sind 2-Mannigfaltigkeiten, die Raumzeit ist eine 4-Mannigfaltigkeit. Wie ernst die Topologie ihre Grundlagen nehmen muss, zeigte früh der jordansche Kurvensatz: Dass eine einfache geschlossene Kurve die Ebene in genau zwei Gebiete teilt, glaubt jeder sofort — streng zu beweisen ist es erstaunlich mühsam. Zu den Wahrzeichen des Fachs gehören der brouwersche Fixpunktsatz, der Satz vom Igel — ein rundum behaarter Ball lässt sich nicht glattkämmen — und die Poincaré-Vermutung, die Perelman 2003 bewies, um anschließend die Fields-Medaille ebenso auszuschlagen wie das Preisgeld von einer Million Dollar.