Nimm eine Kaffeetasse. Nimm einen Donut. Blinzle. Sie haben dieselbe Form. Jedes ist ein massiver Klumpen mit einem einzigen Loch hindurch; eine hinreichend biegsame Tasse ließe sich stetig in einen Donut verformen, ohne zu reißen oder zu kleben. Die Topologie ist die Mathematik dessen, was solche Verformungen überdauert — Formeigenschaften, die nicht von Abstand, Winkel oder Größe abhängen, sondern allein davon, welche Punkte welchen anderen nahe sind. Das Fach entstand im späten neunzehnten Jahrhundert aus Arbeiten von Listing, Möbius, Riemann und vor allem Henri Poincaré, dessen Aufsatz Analysis Situs von 1895 die algebraische Topologie begründete — das Vorhaben, topologischen Räumen algebraische Invarianten anzuheften, sodass zwei Räume verschieden sind, wenn ihre Invarianten verschieden sind. Die Topologie erwies sich als einer der allgemeinsten Ordnungsrahmen, die die Mathematik hervorgebracht hat.
Ein topologischer Raum ist eine Menge X, versehen mit einer Sammlung τ von Teilmengen — den offenen Mengen —, die drei Axiome erfüllen: X und die leere Menge sind offen; endliche Schnitte offener Mengen sind offen; beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen. Aus diesem Minimum entrollt sich der Rest. Die Stetigkeit einer Funktion f: X → Y wird rein topologisch erklärt: f ist stetig genau dann, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Zusammenhang: ein Raum heißt zusammenhängend, wenn er sich nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegen lässt. Kompaktheit: jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung (eine Verallgemeinerung des Satzes von Heine-Borel). Hausdorff (Trennungsaxiom T₂): verschiedene Punkte haben disjunkte Umgebungen. Der Homöomorphismus — eine stetige Bijektion mit stetiger Umkehrung — ist der topologische Begriff der Gleichheit; Kaffeetasse und Donut sind homöomorph. Topologische Invarianten — Eigenschaften, die unter Homöomorphismus erhalten bleiben — erlauben es, Nicht-Homöomorphie zweier Räume durch einen Unterschied nachzuweisen: die Zahl der Zusammenhangskomponenten, die Euler-Charakteristik (V − E + F für ein Polyeder), die Fundamentalgruppe (Schleifen bis auf Deformation), höhere Homotopiegruppen, Homologiegruppen. Mannigfaltigkeiten sind Räume, die lokal aussehen wie ℝⁿ — Flächen (2-Mannigfaltigkeiten), die Raumzeit (eine 4-Mannigfaltigkeit). Der jordansche Kurvensatz (eine einfache geschlossene Kurve in der Ebene teilt diese in genau zwei Gebiete) wirkt anschaulich offensichtlich und ist überraschend schwer streng zu beweisen — diese Mühe war eines der frühen Anzeichen, dass die Topologie ernste Grundlagen brauchte. Der brouwersche Fixpunktsatz, der Igelsatz (einen behaarten Ball kann man nicht glattkämmen) und die Poincaré-Vermutung (2003 von Perelman bewiesen, der die Fields-Medaille ablehnte und auch den Millionen-Dollar-Preis ausschlug) gehören zu den Wahrzeichensätzen der Topologie.
Die topologische Datenanalyse (TDA) — besonders die persistente Homologie — destilliert die „Gestalt von Daten“ heraus, indem sie verfolgt, welche topologischen Merkmale beim Verändern eines Skalenparameters bestehen bleiben; Anwendungen liegen in Genomik, Neurowissenschaft, Materialforschung und Signalverarbeitung. Topologische Isolatoren in der Festkörperphysik sind exotische Materialien, deren Leitfähigkeitseigenschaften als topologische Invarianten der Bandstruktur codiert sind, robust gegen Verunreinigungen — der Physiknobelpreis 2016 würdigte sie. Die Bewegungsplanung in der Robotik navigiert in den Topologien des Konfigurationsraums. Die Netzwerkanalyse studiert Graphtopologien. Die Knotentheorie, einst eine entlegene Ecke der reinen Mathematik, taucht heute bei DNA-Verknotung und Proteinfaltung auf.