Im Winter 1925/26 schrieb der österreichische Physiker Erwin Schrödinger — in den Alpen mit einer Geliebten im Urlaub, deren Identität nie bestätigt wurde — die Wellengleichung der Quantenmechanik nieder. Er suchte eine Gleichung, deren Lösungen die De-Broglie-Wellen der Materie wären, so wie die Maxwell-Gleichungen die elektromagnetischen Wellen als Lösungen haben. iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ wurde die zentrale Gleichung der Quantenmechanik, und ψ — die Wellenfunktion — ihr zentrales Objekt. Die Gleichung ist deterministisch; die physikalische Bedeutung von ψ ist es nicht. Max Born schlug vor, dass |ψ|² eine Wahrscheinlichkeitsdichte sei, und seither ist die Quantenmechanik in ihren Grundlagen unhintergehbar probabilistisch.
Die zeitabhängige Schrödingergleichung iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ hat ψ(x, t) als Wellenfunktion, ℏ als reduziertes Plancksches Wirkungsquantum und Ĥ als Hamilton-Operator — die quantenmechanische Übersetzung der Gesamtenergie. Sie ist erster Ordnung in der Zeit, zweiter Ordnung im Raum und linear, weshalb sich Lösungen überlagern lassen. Die zeitunabhängige Form Ĥψ = Eψ ist eine Eigenwertgleichung: stationäre Zustände mit quantisierten Energien E. Die Lösung für das Wasserstoffatom (Schrödinger selbst lieferte sie Wochen nach Niederschrift der Gleichung) reproduziert jede Spektrallinie samt relativer Intensität — der Triumph, der die Quantenmechanik plötzlich überzeugend machte.
Der mathematische Rahmen ist lineare Algebra auf unendlichdimensionalen Hilberträumen: Wellenfunktionen sind Vektoren, Observablen sind hermitesche Operatoren, Messung projiziert auf Eigenräume. Ort x̂ und Impuls p̂ = −iℏ ∂/∂x kommutieren nicht — x̂p̂ − p̂x̂ = iℏ —, und in dieser Nichtvertauschbarkeit liegt der Ursprung der heisenbergschen Unschärferelation: Observablen, deren Operatoren nicht kommutieren, lassen sich nicht gleichzeitig beliebig genau messen. Die zeitabhängigen Lösungen beschreiben unitäre Entwicklung, die die Gesamtwahrscheinlichkeit wahrt — bis zur Messung. Was bei der Messung geschieht — der Kollaps der Wellenfunktion in der Kopenhagener Sprechweise —, beschreibt die Schrödingergleichung nicht. Die Gleichung schweigt darüber, was die Beobachtung bewirkt, und genau hier scheiden sich die Deutungen der Quantenmechanik.
Quantenchemie ist angewandte Schrödingergleichung: jede chemische Bindung, jede Reaktionsgeschwindigkeit, jede spektroskopische Linie ist im Prinzip eine Lösung für die beteiligten Elektronen, mit Dichtefunktionaltheorie und Coupled-Cluster-Verfahren als Näherungslieferanten. Die Festkörperphysik löst die Gleichung in periodischen Potentialen; Bandstruktur, Halbleiterelektronik und Supraleitung folgen daraus. Quantencomputing manipuliert Qubits über unitäre Gatter, die als Lösungen der Schrödinger-Entwicklung konstruiert werden. Quantensensorik — Atomuhren, Magnetometer, Gravimeter, Gravitationswellendetektoren — nutzt ultrastabile Übergänge. Quantenkryptographie nutzt die Mess-Stör-Eigenschaft als Sicherheitsprimitive. Die kleine Gleichung, die Schrödinger im Urlaub niederschrieb, gehört zu den am häufigsten strapazierten der Wissenschaft.