Die Schrödinger-Gleichung

Im Winter 1925/26 schrieb der österreichische Physiker Erwin Schrödinger — in den Alpen mit einer Geliebten im Urlaub, deren Identität nie bestätigt wurde — die Wellengleichung der Quantenmechanik nieder. Er suchte eine Gleichung, deren Lösungen die De-Broglie-Wellen der Materie wären, so wie die Maxwell-Gleichungen die elektromagnetischen Wellen als Lösungen haben. iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ wurde die zentrale Gleichung der Quantenmechanik, und ψ — die Wellenfunktion — ihr zentrales Objekt, die vollständige Beschreibung eines Quantensystems. Die Gleichung sagt ψ, wie es sich in der Zeit entwickelt, stetig und deterministisch; sie ist die Bewegungsgleichung der Quantenwelt. Die physikalische Bedeutung von ψ ist eine andere Sache. Max Born schlug vor, dass |ψ|² eine Wahrscheinlichkeitsdichte sei — die Brücke von einer deterministischen Welle zu einer probabilistischen Messung —, und seither ist die Quantenmechanik in ihren Grundlagen unhintergehbar probabilistisch.

Die zeitabhängige Schrödingergleichung iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ hat ψ(x, t) als Wellenfunktion, ℏ als reduziertes Plancksches Wirkungsquantum und Ĥ als Hamilton-Operator — die quantenmechanische Übersetzung der Gesamtenergie. Sie ist erster Ordnung in der Zeit, zweiter Ordnung im Raum und linear, weshalb sich Lösungen überlagern lassen: je zwei gültige Zustände ergeben zusammen einen dritten, und ein System kann in einer Superposition von Möglichkeiten zugleich verharren. Die zeitunabhängige Form Ĥψ = Eψ ist eine Eigenwertgleichung, und für ein gebundenes System überleben nur bestimmte Lösungen — die Eigenzustände, stationäre Zustände mit quantisierten Energien E. Hier tritt die Diskretheit in die Physik ein: Die Lösung für das Wasserstoffatom (Schrödinger selbst lieferte sie Wochen nach Niederschrift der Gleichung) ergibt genau die erlaubten Energieniveaus, reproduziert jede Spektrallinie samt relativer Intensität und liefert dieselbe Schalenstruktur, die das Periodensystem der Elemente ordnet. Das war der Triumph, der die Quantenmechanik plötzlich überzeugend machte.

Der mathematische Rahmen ist lineare Algebra auf unendlichdimensionalen Hilberträumen: Wellenfunktionen sind Vektoren, Observablen sind hermitesche Operatoren, Messung projiziert auf Eigenräume. Ort x̂ und Impuls p̂ = −iℏ ∂/∂x kommutieren nicht — x̂p̂ − p̂x̂ = iℏ —, und in dieser Nichtvertauschbarkeit liegt der Ursprung der heisenbergschen Unschärferelation: Observablen, deren Operatoren nicht vertauschen, lassen sich nicht zugleich scharf festlegen. Die beiden Formen der Gleichung greifen ineinander — man löse die zeitunabhängige Form nach den Eigenzuständen und ihren Energien, dann trägt die zeitabhängige Form jede Superposition von ihnen durch einen einfachen Phasenfaktor voran. Diese Entwicklung ist unitär; sie wahrt die Gesamtwahrscheinlichkeit und läuft umkehrbar ab, wie eine fortrollende Welle — bis zur Messung. Was dann geschieht — wie aus einer verschmierten Superposition ein einziges bestimmtes Ergebnis hervorgeht, der Kollaps der Wellenfunktion in der Kopenhagener Sprechweise —, beschreibt die Schrödingergleichung überhaupt nicht. An diesem ungelösten Messproblem scheiden sich die Deutungen der Quantenmechanik, von denen jede genau das zu erklären versucht, worüber die Gleichung schweigt.