Die Schrödinger-Gleichung

Im Winter 1925/26, im Urlaub in den Alpen — in Begleitung einer Geliebten, deren Identität bis heute ungeklärt ist —, brachte der österreichische Physiker Erwin Schrödinger die Wellengleichung der Quantenmechanik zu Papier. Gesucht war eine Gleichung, deren Lösungen die De-Broglie-Wellen der Materie sein würden, so wie die Maxwell-Gleichungen elektromagnetische Wellen als Lösungen haben. iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ wurde zur zentralen Gleichung der Quantenmechanik, und ψ — die Wellenfunktion — zu ihrem zentralen Gegenstand: der vollständigen Beschreibung eines Quantensystems. Die Gleichung schreibt ψ vor, wie es sich in der Zeit zu entwickeln hat — stetig und deterministisch; sie ist die Bewegungsgleichung der Quantenwelt. Was ψ physikalisch bedeutet, steht auf einem anderen Blatt. Max Born schlug vor, |ψ|² als Wahrscheinlichkeitsdichte zu lesen — als Brücke von der deterministischen Welle zur probabilistischen Messung —, und seither ist die Quantenmechanik in ihrem Fundament unhintergehbar probabilistisch.

In der zeitabhängigen Schrödingergleichung iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ steht ψ(x, t) für die Wellenfunktion, ℏ für das reduzierte plancksche Wirkungsquantum und Ĥ für den Hamilton-Operator — die quantenmechanische Fassung der Gesamtenergie. Die Gleichung ist erster Ordnung in der Zeit, zweiter Ordnung im Raum und linear: Zwei gültige Zustände addieren sich zu einem dritten, ein System kann also in einer Superposition mehrerer Möglichkeiten zugleich sein. Die zeitunabhängige Form Ĥψ = Eψ ist eine Eigenwertgleichung; für ein gebundenes System bestehen nur bestimmte Lösungen — die Eigenzustände, stationäre Zustände mit quantisierten Energien E. An dieser Stelle betritt die Diskretheit die Physik: Auf das Wasserstoffatom angewandt — Schrödinger selbst rechnete es wenige Wochen nach der Niederschrift durch —, liefert die Gleichung exakt die erlaubten Energieniveaus, reproduziert jede Spektrallinie samt ihrer relativen Intensität und ergibt dieselbe Schalenstruktur, nach der das Periodensystem der Elemente geordnet ist. Dieser Triumph machte die Quantenmechanik mit einem Schlag überzeugend.

Der mathematische Rahmen ist lineare Algebra auf unendlichdimensionalen Hilberträumen: Wellenfunktionen sind Vektoren, Observablen sind hermitesche Operatoren, eine Messung projiziert auf Eigenräume. Ort x̂ und Impuls p̂ = −iℏ ∂/∂x vertauschen nicht — x̂p̂ − p̂x̂ = iℏ —, und aus dieser Nichtvertauschbarkeit erwächst die heisenbergsche Unschärferelation: Observablen, deren Operatoren nicht kommutieren, haben nie zugleich scharfe Werte. Beide Formen der Gleichung greifen ineinander — die zeitunabhängige liefert die Eigenzustände, die zeitabhängige trägt jede Superposition daraus mit einem simplen Phasenfaktor durch die Zeit. Diese Entwicklung ist unitär: Sie erhält die Gesamtwahrscheinlichkeit und läuft umkehrbar ab, wie eine Welle, die weiterrollt — bis gemessen wird. Was dann geschieht — wie eine verschmierte Superposition ein einziges, bestimmtes Ergebnis hervorbringt, in Kopenhagener Sprechweise der Kollaps der Wellenfunktion —, davon sagt die Schrödingergleichung nichts. An diesem ungelösten Messproblem scheiden sich die Deutungen der Quantenmechanik; jede versucht, genau das zu erklären, worüber die Gleichung schweigt.