Das Integral

Eine Summe unendlich vieler unendlich kleiner Stücke — die Fläche unter einer Kurve, das Ganze einer veränderlichen Rate.

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Der Beitrag

Archimedes berechnete im dritten Jahrhundert v. Chr. die Fläche eines Parabelsegments, indem er es mit eingeschriebenen Dreiecken erschöpfte, ihre Flächen aufsummierte und folgerte, dass die Summe sich der wahren Fläche näherte, sobald die Dreiecke kleiner wurden. Im Grunde betrieb er Integration ohne die Notation. Zweitausend Jahre später vollendeten Newton und Leibniz das Bild: Integration und Differentiation sind zueinander inverse Operationen, vereint durch das, was wir heute den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nennen. Die Entdeckung war so folgenreich, dass sie ihren Erfindern einen Prioritätsstreit bescherte, der ein Jahrhundert dauerte. Das Ergebnis, wie immer man dazu kam, ist die zweite der beiden Triebfedern moderner Mathematik — diejenige, die summiert, was die Ableitung differenziert.

Es gibt zwei einander ergänzende Lesarten des Integrals. Das Riemann-Integral definiert ∫ₐᵇ ƒ(x) dx als Grenzwert von Summen: zerlege [a, b] in viele kleine Teilintervalle, summiere die Produkte aus (Teilintervallbreite) × (Funktionswert irgendwo im Inneren), und lasse die Zerlegung beliebig fein werden. Existiert der Grenzwert und hängt er nicht von der Wahl der Funktionswerte ab, heißt die Funktion Riemann-integrierbar, und der Grenzwert ist ihr bestimmtes Integral — eine einzige Zahl, die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Die Stammfunktion liest das Integral andersherum: ein unbestimmtes Integral ∫ ƒ(x) dx ist irgendeine Funktion, deren Ableitung ƒ ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vereint beides: ∫ₐᵇ ƒ(x) dx = F(b) − F(a), wobei F eine beliebige Stammfunktion von ƒ ist. Der Satz ist fast magisch — um eine Fläche aus unendlich vielen infinitesimalen Stücken zu berechnen, genügt es, eine verwandte Funktion an zwei Stellen auszuwerten. Jenseits von Riemann liegt das Lebesgue-Integral (1902), das mit weit pathologischeren Funktionen umgeht, indem es die Summation umorganisiert: statt die Definitionsmenge zu zerlegen, zerlegt es die Wertemenge und fragt, welcher Teil der Definitionsmenge in jede Schicht abbildet. Die Lebesgue-Integration verallgemeinert sich zur Maßtheorie, dem Fundament der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung (das Integral über einem Wahrscheinlichkeitsmaß ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen). Eigenschaften des Integrals — Linearität, Monotonie, die Substitutionsregel — sind die tägliche Analysis jeder angewandten Wissenschaft.

Warum jetztIntegration steht überall dort, wo eine Berechnung eine Gesamtmenge einer veränderlichen Größe braucht. Energie in der Physik ist das Integral der Kraft über den Weg. Wahrscheinlichkeit ist ein Integral über eine Dichte. Erwartete Rendite in der Finanzwelt ist ein Integral über Ergebnisverteilungen. Bildrendering in der Grafik integriert Lichttransportgleichungen. Numerische Quadratur — Simpson-Regel, Gauß-Legendre, Monte-Carlo-Integration — zählt zu den meistgenutzten Algorithmen des wissenschaftlichen Rechnens. Der Lebesgue-Rahmen trägt die gesamte Theorie stochastischer Prozesse, die die moderne Finanzwelt, die Signalverarbeitung und die theoretischen Grundlagen des maschinellen Lernens stützt.