Das Integral

Unendlich viele unendlich kleine Stücke, aufsummiert: die Fläche unter einer Kurve, die Gesamtmenge einer veränderlichen Rate. Und um sie zu bestimmen, genügt es, eine verwandte Funktion an zwei Stellen auszuwerten.

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Der Beitrag

Im dritten Jahrhundert v. Chr. bestimmte Archimedes die Fläche eines Parabelsegments, indem er es mit einbeschriebenen Dreiecken ausschöpfte: Er summierte deren Flächen und zeigte, dass die Summe der wahren Fläche beliebig nahekommt, wenn die Dreiecke nur klein genug werden. Der Sache nach war das Integration — allein die Notation fehlte. Zweitausend Jahre später vollendeten Newton und Leibniz das Bild: Integrieren und Differenzieren sind zueinander inverse Operationen, verklammert durch das, was heute Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung heißt. Die Entdeckung war folgenreich genug, um ihren Urhebern einen Prioritätsstreit von einem Jahrhundert einzutragen. Wie auch immer sie in die Welt kam: Das Ergebnis ist der zweite der beiden Motoren der modernen Mathematik — derjenige, der aufsummiert, was die Ableitung zerlegt.

Das Integral lässt sich auf zwei Weisen lesen, die einander ergänzen. Das Riemann-Integral erklärt ∫ₐᵇ ƒ(x) dx als Grenzwert von Summen: Man zerlegt [a,b] in viele kleine Teilintervalle, bildet für jedes das Produkt aus Intervallbreite und einem Funktionswert irgendwo darin, summiert alles auf — und lässt die Zerlegung beliebig fein werden. Existiert dieser Grenzwert, und hängt er nicht davon ab, welche Funktionswerte man herausgreift, dann heißt die Funktion Riemann-integrierbar, und der Grenzwert ist ihr bestimmtes Integral: eine einzelne Zahl, der orientierte Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Die Stammfunktion liest dasselbe Zeichen von der anderen Seite her: Ein unbestimmtes Integral ∫ ƒ(x) dx ist jede Funktion, deren Ableitung ƒ ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung fügt beide Lesarten zusammen: ∫ₐᵇ ƒ(x) dx = F(b) − F(a), mit einer beliebigen Stammfunktion F von ƒ. Der Satz hat etwas beinahe Magisches: eine Fläche, aufgebaut aus unendlich vielen infinitesimalen Stücken — und um sie zu berechnen, genügt es, eine verwandte Funktion an zwei Stellen auszuwerten. Jenseits von Riemann steht das Lebesgue-Integral (1902). Es wird mit erheblich wilderen Funktionen fertig, weil es die Summation umbaut: Zerlegt wird nicht der Definitionsbereich, sondern der Wertebereich — gefragt wird, wie viel vom Definitionsbereich in jede Werteschicht fällt. Von dort führt der Weg in die Maßtheorie, das Fundament der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung: Das Integral über ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen. Die Eigenschaften des Integrals — Linearität, Monotonie, die Substitutionsregel — sind das tägliche Handwerkszeug jeder angewandten Wissenschaft.

Warum jetztIntegriert wird überall dort, wo es auf die Gesamtmenge einer veränderlichen Größe ankommt. Energie ist in der Physik das Integral der Kraft längs des Weges. Wahrscheinlichkeit ist das Integral einer Dichte. Die erwartete Rendite der Finanzwelt ist ein Integral über Ergebnisverteilungen. Das Rendering der Computergrafik integriert Lichttransportgleichungen. Die numerische Quadratur — Simpsonregel, Gauß-Legendre, Monte-Carlo-Integration — gehört zu den meistgebrauchten Algorithmen des wissenschaftlichen Rechnens. Und der Lebesgue-Rahmen trägt die gesamte Theorie der stochastischen Prozesse, auf der die moderne Finanzwelt, die Signalverarbeitung und die theoretischen Grundlagen des maschinellen Lernens ruhen.