Der harmonische Oszillator

Eine Masse an einer Feder ist das einfachste mechanische System, das nicht trivial ist. Aus der Ruhelage gezogen und losgelassen, schwingt sie hin und her — regelmäßig, vorhersagbar, sinusförmig. Galileo stoppte in den 1580er Jahren Pendel mit dem eigenen Puls und stellte fest, dass die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude abhängt. Robert Hooke veröffentlichte die lineare Rückstellkraft F = −kx im Jahr 1676 als Anagramm — ceiiinosssttuv — und rückte die Auflösung, ut tensio, sic vis, erst 1678 heraus: So sicherte er sich die Priorität, ohne das Ergebnis preiszugeben. Warum aber der Oszillator überall auftaucht, konnte erst zwei Jahrhunderte später ausgesprochen werden: Jedes glatte Potential sieht nahe einem Minimum aus wie eine Parabel, also schwingt jedes System nahe dem Gleichgewicht wie eine Feder. Der harmonische Oszillator eröffnet fast jeden Physikkurs als erstes nichttriviales System, weil er in fast jeder physikalischen Situation das erste nichttriviale System ist.

Die Bewegungsgleichung lautet m·d²x/dt² = −k·x; darin ist k > 0 die Federkonstante und x die Auslenkung aus der Ruhelage. Ihre allgemeine Lösung x(t) = A·cos(ωt + φ) schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m); Amplitude A und Phase φ legen die Anfangsbedingungen fest. Die Bewegung wiederholt sich mit der Periode T = 2π/ω = 2π·√(m/k), die Energie pendelt zwischen kinetischer und potentieller Form, und ihre Summe ½kA² bleibt konstant. Mit Reibung (F_Reibung = −b·dx/dt) wird daraus m·ẍ + b·ẋ + k·x = 0: eine gedämpfte Schwingung, die exponentiell abklingt. Kommt stattdessen ein periodischer Antrieb hinzu, gerät das System bei Frequenzen nahe der Eigenfrequenz ω₀ in Resonanz; genau auf der Resonanz ist die Amplitude umgekehrt proportional zur Dämpfung. Die Tacoma-Narrows-Brücke stürzte 1940 nicht an schlichter Resonanz ein, sondern am selbsterregten Flattern; die Resonanz selbst steckt im Abstimmknopf des Radios, im Schwungholen des Kindes auf der Schaukel und im Weinglas, das beim richtigen Ton zerspringt. Gekoppelte harmonische Oszillatoren — mehrere Massen, durch Federn verbunden — zerfallen in Normalmoden, unabhängige Schwingungen bei charakteristischen Frequenzen; man findet sie, indem man die Kopplungsmatrix diagonalisiert. Kontinuierliche Systeme — schwingende Saiten, Trommelfelle, Schall in Luft, Licht im Vakuum — sind der Grenzfall unendlich vieler gekoppelter Oszillatoren, und ihre Normalmoden sind die Fourier-Komponenten, die jede Schwingung in eine Summe von Sinuskurven zerlegen. Der quantenmechanische harmonische Oszillator: Ersetzt man die klassische Gleichung durch die Schrödingergleichung, sind die Energien quantisiert — Eₙ = (n + ½)·ℏω für n = 0, 1, 2, … —, samt einer Nullpunktsenergie von ½ℏω im Grundzustand. Die Quantenfeldtheorie schließlich fasst jedes Feld als Kontinuum harmonischer Oszillatoren auf, einen je Impulsmode; ihre quantisierten Anregungen sind die Teilchen der Theorie. So ist der harmonische Oszillator die meistgelöste Gleichung der Physik — exakt gelöst in der klassischen Mechanik, exakt in der Quantenmechanik, exakt in der Quantenfeldtheorie und näherungsweise fast überall sonst, wo Lösungen gebraucht werden.