Um 200 v. Chr. brachten römische Ingenieure — auf etruskischen und mesopotamischen Vorläufern aufbauend — den Halbkreisbogen zur Reife. Die technische Leistung war alles andere als trivial: eine selbsttragende Steinkurve, allein durch Druck zusammengehalten. Der Schlussstein — der keilförmige Stein an der Spitze — verriegelt die Konstruktion; unter seiner Last leiten die Widerlager an den Seiten den Schub ab. Kein Mörtel nötig, keine Zugspannung im Innern, nur Druck — der Versagensmodus, dem Stein am besten gewachsen ist. Der Bogen ließ die Römer Distanzen überspannen, an denen der griechische Architrav scheiterte, von achtzehn Meter breiten Aquädukten bis zur 43-Meter-Kuppel des Pantheon. Das Gewölbe deckte Innenräume ab, ohne dass Säulen darin stehen mussten. Tausend Jahre später setzten die gotischen Baumeister, beginnend 1140 mit Abt Sugers Umbau von Saint-Denis, Spitzbogen und Strebebogen darauf — und ließen Kathedralen ungeahnte Höhen mit riesigen Fenstern erreichen, die Wand nicht länger tragend und frei für die Glasmalerei.
Wirkt eine Last auf den Scheitel eines Bogens, geraten die Steine unter Druck — sie pressen entlang der Kurve gegeneinander —, und die Schublinie muss innerhalb des Mauerwerks bleiben; tritt sie aus dem Stein, versagt der Bogen. Galileo war 1638 der Erste, der Steinbiegung streng analysierte, und Robert Hooke fasste 1675 die zugrundeliegende Geometrie in ein lateinisches Rätsel: wie ein biegsames Seil hängt, so steht umgekehrt der starre Bogen. Die Kettenlinie, die natürliche Kurve einer hängenden Kette, ist die ideale Bogenform unter gleichmäßiger Last; reale Bögen sind Näherungen daran, die deshalb tragen, weil Mauerwerk ein gewisses Wandern der Schublinie aushält. Gewölbe übertragen das Prinzip in die dritte Dimension: das römische Tonnengewölbe ist ein durchlaufender Bogen, das Kreuzgratgewölbe bündelt die Last auf vier Ecken und lässt Licht von den Seiten herein, und das gotische Rippengewölbe stellt zuerst die tragenden Rippen aus Stein und füllt die leichteren Felder dazwischen ein. Kuppeln sind der um die Senkrechte rotierte Bogen; aus ihm gehen die großen Einzelraum-Interieurs hervor — Pantheon, Hagia Sophia, Brunelleschis Florentiner Dom, Michelangelos Petersdom. Der gotische Durchbruch war strukturell, nicht ornamental. Der Spitzbogen lenkt den Schub stärker nach unten, der Strebebogen führt die Restkraft aus der Gebäudehülle heraus auf in den Boden verankerte Pfeiler — daraus folgten dünne Wände, riesige Fenster und ein vertikaler Sog. Der Chor der Kathedrale von Beauvais stürzte 1284 ein, der Vierungsturm 1573 — die mittelalterlichen Baumeister arbeiteten am Rand dessen, was Stein zulässt. Die strukturelle Familie des Bogens weitete sich im 19. und 20. Jahrhundert durch Eisen und Stahl (Brooklyn Bridge 1883, Sydney Harbour Bridge 1932) und durch Dünnschalenbeton (Pier Luigi Nervi, Eduardo Torroja, Félix Candela) zu Gewölben, an die kein mittelalterlicher Baumeister hätte herankommen können.
Bogen und Gewölbe sind nicht mehr das vorherrschende Tragsystem im Neubau — Stahlrahmen seit den 1880ern und Stahlbeton seit dem frühen 20. Jahrhundert tragen Zug- und Druckkräfte mit weit dünneren Gliedern —, doch die zugrundeliegenden Prinzipien bleiben für jede Tragwerksplanerin grundlegend. Die Steinrestaurierung historischen Mauerwerks, etwa die Erhaltung von Notre-Dame de Paris nach dem Brand 2019, ruht auf einem detaillierten Verständnis der Bogen- und Gewölbemechanik. Moderner Dünnschalenbeton (Heinz Isler, Eladio Dieste, Santiago Calatrava) führt die Bogenprinzipien in expressive Formen über. 3D-gedruckter Beton lässt das reine Druckdesign als materialeffiziente Alternative zum Stahl-Beton-Rahmen wieder aufleben, denn gedruckte Tragwerke, die keine Zugkraft aufnehmen können, fallen von selbst in kettenlinienartige Geometrien.