Mengenlehre

Ein Element gehört einer Menge an oder nicht — ein Drittes gibt es nicht. Aus dieser einzigen Beziehung ist die Sprache geworden, in der seither jedes andere Fach der Mathematik geschrieben wird.

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Georg Cantor, in den 1870er Jahren ein noch junger deutscher Mathematiker, ging daran, unendliche Gesamtheiten als Gegenstände eigenen Rechts zu behandeln. Das Wort „Menge“ war seit Jahrhunderten locker in Gebrauch; Cantor aber verlangte etwas Kühnes: die Menge aller natürlichen Zahlen sei selbst ein Ding — ein Aktual-Unendliches —, mit bestimmten Eigenschaften, über die sich urteilen und die sich mit anderen unendlichen Mengen vergleichen ließen. Daraus wurde die Mengenlehre, ein Fundament von solcher Allgemeinheit, dass binnen fünfzig Jahren beinahe jeder andere Zweig der Mathematik in ihrer Sprache neu geschrieben war. Bezahlt hat sie das mit einem Paradox von solcher Schärfe, dass die Mathematik daran fast zerbrochen wäre, und mit einer Kargheit, die die Zunft seither abwechselnd rühmt und beklagt.

Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Dinge; ein Element gehört ihr an oder eben nicht, ein Drittes gibt es nicht. Auf diesem Minimum ruht alles Weitere: Vereinigung und Durchschnitt, die leere Menge ∅, die Teilmenge, die Potenzmenge — die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge. Sogar die Zahlen lassen sich so erklären: Die leere Menge ist 0, die Menge, die 0 enthält, ist 1, die Menge, die 0 und 1 enthält, ist 2, und so fort. Funktionen sind Mengen geordneter Paare, algebraische Strukturen — Gruppen, Ringe, Körper — sind Mengen mit Operationen darauf, und fast jedes moderne mathematische Objekt ist formal nichts anderes als eine Menge mit Zusatzstruktur. Unangreifbar wirkte das bis 1901: Bertrand Russell betrachtete die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, und sie enthält sich entweder selbst — dann dürfte sie es nicht — oder eben nicht, dann müsste sie es. Ein Widerspruch im Fundament. Dreißig Jahre lang wurde daraufhin mit Axiomen geflickt: Zermelo-Fraenkel, zuletzt samt Auswahlaxiom, zusammen als ZFC bekannt; sie regeln, welche Zusammenfassungen noch als Menge gelten und welche bloß Klassen bleiben. Der Flicken hält bis heute. Cantor sah überdies, dass nicht alle Unendlichkeiten gleich groß sind: Die rationalen Zahlen sind abzählbar, lassen sich also eineindeutig auf die ganzen Zahlen abbilden, die reellen nicht — das berühmte Diagonalargument zeigt, dass keine Liste reeller Zahlen sie alle erfasst. Unendlichkeiten haben verschiedene Mächtigkeiten, und die Stufenleiter bricht nie ab.

Warum jetztUnter jedem Lehrbuch des mathematischen Grundstudiums liegt die Mengenlehre als Lingua franca, auch wenn das Lehrbuch sie nie erwähnt. Sie taucht in Datenbanken auf — Verbund und Projektion, das relationale Modell ist im Kern Mengenalgebra —, in den Typsystemen der Informatik und in der anhaltenden Konkurrenz, die ihr die Kategorientheorie als Grundlagensprache macht. Der tiefere philosophische Schritt aber ist dieser: dass sich mathematische Objekte über die Zugehörigkeit definieren lassen statt über ihre Konstruktion — ein Gedanke, der längst in die Philosophie des Geistes, in die Ontologie und in die formale Semantik der natürlichen Sprache abgewandert ist.