In den 1870er Jahren begann ein junger deutscher Mathematiker namens Georg Cantor, unendliche Sammlungen als Objekte für sich selbst zu behandeln. Mathematiker hatten das Wort „Menge“ jahrhundertelang lose verwendet, doch Cantor schlug etwas Kühnes vor: die Menge aller natürlichen Zahlen sei selbst ein Ding — eine vollendete Unendlichkeit — mit bestimmten Eigenschaften, die sich erörtern und mit anderen unendlichen Mengen vergleichen ließen. Das Ergebnis war die Mengenlehre, eine Grundlage so allgemein, dass innerhalb von fünfzig Jahren nahezu jeder andere Zweig der Mathematik in ihrer Sprache neu geschrieben wurde. Der Preis war eine Dosis Paradoxie, die so scharf war, dass sie die Mathematik beinahe gebrochen hätte, und eine Strenge, die arbeitende Mathematiker abwechselnd umarmt und beklagt haben.
Eine Menge ist eine Sammlung verschiedener Dinge; ein Element gehört einer Menge an oder nicht — ein Zwischenfall ist nicht vorgesehen. Aus diesem Minimum baut sich der Rest auf: Vereinigung, Schnitt, die leere Menge ∅, Teilmenge, die Potenzmenge (die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge). Selbst die Zahlen lassen sich als Mengen erklären — die leere Menge ist 0; die Menge, die 0 enthält, ist 1; die Menge, die 0 und 1 enthält, ist 2; und so fort. Funktionen sind Mengen geordneter Paare. Algebraische Strukturen — Gruppen, Ringe, Körper — sind Mengen, ausgestattet mit Operationen. Fast jedes moderne mathematische Objekt lebt formal als Menge mit Zusatzstruktur. Der Rahmen schien unangreifbar bis 1901, als Bertrand Russell bemerkte, dass sich die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, entweder selbst enthält (was sie nicht sollte) oder nicht (was sie sollte) — ein Paradox am Fundament. Die Mathematik verbrachte die nächsten dreißig Jahre damit, das System mit Axiomen zu flicken (Zermelo-Fraenkel, schließlich mit dem Auswahlaxiom — bekannt als ZFC), und grenzte ab, welche Sammlungen als Mengen galten und welche nur als „Klassen“. Die geflickte Theorie hält seither. Cantor entdeckte überdies, dass nicht alle Unendlichkeiten gleich groß sind: die rationalen Zahlen sind abzählbar (sie lassen sich umkehrbar eindeutig den ganzen Zahlen zuordnen), die reellen nicht — das berühmte Diagonalargument zeigt, dass keine Liste reeller Zahlen sie alle umfassen kann. Verschiedene Unendlichkeiten haben verschiedene Mächtigkeiten, und die Hierarchie steigt ohne Ende auf.
Die Mengenlehre ist die Lingua franca unter jedem Lehrbuch des mathematischen Grundstudiums, auch wenn das Lehrbuch sie nie beim Namen nennt. Sie taucht ebenso in Datenbanken auf (Joins, Projektionen — das relationale Modell ist im Wesentlichen Mengenalgebra), in den Typsystemen der Informatik und in der laufenden Rivalität der Kategorientheorie mit den mengentheoretischen Grundlagen unter arbeitenden Mathematikern. Der tiefere philosophische Schritt — dass mathematische Objekte über Mitgliedschaft statt über Konstruktion definiert werden können — ist in die Philosophie des Geistes, in die Ontologie und in die formale Semantik der natürlichen Sprache hinübergewandert.