Riemannsche Geometrie

Was Abstand und Winkel bedeuten, wird an jedem Punkt neu festgelegt und ändert sich von Stelle zu Stelle. Krümmung braucht dafür keinen umgebenden Raum: Die Fläche kennt sie von innen.

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Göttingen, 10. Juni 1854: Der siebenundzwanzigjährige Bernhard Riemann hält seinen Habilitationsvortrag — die Vorlesung, mit der man sich damals um die Stellung des Privatdozenten bewarb, eines unbezahlten Nachwuchsdozenten. Im Auditorium sitzt der gealterte Carl Friedrich Gauß, der das Thema ausgewählt hat. Der Vortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen dauert dreißig Minuten, kommt ohne eine einzige Formel aus — und außer Gauß versteht ihn im Saal so gut wie niemand. Riemann wagt darin einen ungeheuren Gedanken: Geometrie muss weder flach noch euklidisch sein. Was „Abstand“ vor Ort bedeutet, darf sich stetig von Stelle zu Stelle ändern; heraus kommt eine ganze Klasse in sich gekrümmter Geometrien — die riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sechzig Jahre später waren sie genau das Werkzeug, das Einstein brauchte, um die Allgemeine Relativitätstheorie hinzuschreiben.

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit besteht aus zwei Zutaten: einer glatten Mannigfaltigkeit — einem topologischen Raum, der lokal wie ℝⁿ aussieht und eine damit verträgliche glatte Struktur trägt — und einer riemannschen Metrik, einem Skalarprodukt auf dem Tangentialraum jedes Punktes, das glatt vom Punkt abhängt. Die Metrik legt fest, was „Abstand“ und „Winkel“ vor Ort bedeuten — und sie darf das an jeder Stelle anders tun. Aus diesem Minimum entfaltet sich die gesamte Geometrie. Die Länge einer Kurve: das Integral der Geschwindigkeit, die die Metrik ihr zumisst. Geodäten sind lokal kürzeste Kurven, die natürlichen „Geraden“ der Mannigfaltigkeit — auf der Kugel die Großkreise, in der Raumzeit die Bahnen frei fallender Körper. Christoffel-Symbole führen Buch darüber, wie sich die lokalen Koordinatenachsen von Punkt zu Punkt drehen; der Levi-Civita-Zusammenhang ist der einzige torsionsfreie Zusammenhang, der zur Metrik passt. Wie weit die Geometrie von der Flachheit abweicht, messen die Krümmungstensoren — Riemann, Ricci, Skalarkrümmung, einer aus dem anderen durch Kontraktion gewonnen. Der Satz von Gauß-Bonnet besagt in zwei Dimensionen: Das Integral der Gauß-Krümmung über eine geschlossene Fläche beträgt 2π mal ihre Euler-Charakteristik — die Geometrie kennt die Topologie, eines der tiefsten Resultate der klassischen Differentialgeometrie. Die Schnittkrümmung trägt die Gauß-Krümmung in höhere Dimensionen; geodätische Vollständigkeit, konjugierte Punkte, Jacobi-Felder und Schnittorte gehören zum Handwerkszeug derer, die riemannsch arbeiten. Quer durch alles läuft die Unterscheidung zwischen intrinsischer Geometrie — dem, was eine Ameise auf der Fläche ermitteln kann, ohne sie je zu verlassen — und extrinsischer, der Lage der Fläche in einem umgebenden Raum. Riemanns tiefste Einsicht: Die intrinsische Geometrie genügt. Um von der Krümmung unseres Universums zu sprechen, müssen wir es in keinen höherdimensionalen Raum einbetten.

Warum jetztDie Allgemeine Relativitätstheorie — die erfolgreichste Beschreibung der Gravitation, die wir besitzen — ist im Kern riemannsche Geometrie auf einer vierdimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit: fast riemannsch, nur dass eine Komponente der Metrik negatives Vorzeichen trägt und die Zeit codiert. Materie und Energie krümmen die Metrik, frei fallende Körper folgen Geodäten, und Urknall, Schwarze Löcher und Gravitationswellen sind allesamt Phänomene riemannscher Geometrie. Computer Vision und Robotik rechnen riemannsch auf Konfigurationsräumen von Posen und Formen. Die Informationsgeometrie fasst Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen als riemannsche Mannigfaltigkeiten auf, mit der Fisher-Information als Metrik — ein Zugriff, der Teile der Statistik und des maschinellen Lernens umgebaut hat. Optimierung auf Mannigfaltigkeiten — Gradientenabstieg in gekrümmtem Gelände — gehört zum Standardrepertoire der Numerik, und die Formanalyse der medizinischen Bildgebung behandelt anatomische Formen als Punkte eines riemannschen Formenraums, zwischen denen sich Abstände messen lassen.

Zur VertiefungDo Carmos Riemannian Geometry (1992) ist das klassische Lehrbuch für Fortgeschrittene; das modernere, sorgfältiger gearbeitete Paar bilden Lees Riemannian Manifolds (2018) und Smooth Manifolds (2013). Für die Verbindung zur Allgemeinen Relativitätstheorie, aus der das Fach seinen Antrieb bezog, wieder Misner-Thorne-Wheeler. Die synthetischen und informationsgeometrischen Erweiterungen — heute Werkzeug in Statistik und maschinellem Lernen — entwickelt Amaris Information Geometry and Its Applications (2016).