Am 10. Juni 1854 hielt der siebenundzwanzigjährige Bernhard Riemann an der Universität Göttingen seinen Habilitationsvortrag — die Vorlesung, die für den Status eines Privatdozenten, eines unbezahlten Nachwuchsdozenten, verlangt war. Der alternde Carl Friedrich Gauß, der das Thema gewählt hatte, saß im Auditorium. Riemanns Vortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen dauerte dreißig Minuten, enthielt keine Formel und war für fast jeden im Saal außer Gauß unverständlich. Darin schlug Riemann etwas Kühnes vor: die Geometrie ist nicht notwendig flach oder euklidisch. Die lokalen Regeln des Abstands dürfen stetig über einen Raum variieren, und das Ergebnis ist eine Klasse intrinsisch gekrümmter Geometrien — riemannsche Mannigfaltigkeiten —, die sechzig Jahre später genau das waren, was Einstein zum Aufschreiben der Allgemeinen Relativitätstheorie brauchte.
Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit (ein topologischer Raum, der lokal wie ℝⁿ aussieht, mit verträglicher glatter Struktur), versehen mit einer riemannschen Metrik: einem glatt variierenden Skalarprodukt auf dem Tangentialraum an jedem Punkt. Die Metrik legt lokal fest, was „Abstand“ und „Winkel“ heißen — und entscheidend: die Festlegung darf sich von Punkt zu Punkt ändern. Aus diesem Minimum entrollt sich die Geometrie. Länge einer Kurve: integriere die aus der Metrik gewonnene Geschwindigkeit längs der Kurve. Geodäten: lokal längenminimierende Kurven — die natürlichen „Geraden“ der Mannigfaltigkeit; auf der Sphäre die Großkreise, in der Raumzeit die Bahnen frei fallender Körper. Christoffel-Symbole beschreiben, wie sich der lokale Bezugsrahmen bei Bewegung dreht. Der Levi-Civita-Zusammenhang ist der eindeutige torsionsfreie Zusammenhang, der mit der Metrik verträglich ist. Krümmungstensoren — Riemann, Ricci, skalar — sind zunehmend kontrahierte Maße dafür, wie weit die Geometrie von der Flachheit abweicht. Der Satz von Gauß-Bonnet (in 2D) besagt, dass das Integral der Gauß-Krümmung über eine geschlossene Fläche gleich 2π mal der Euler-Charakteristik ist — Geometrie, die Topologie codiert, eines der tiefsten Resultate der klassischen Differentialgeometrie. Die Schnittkrümmung überträgt die Gauß-Krümmung in höhere Dimensionen. Geodätische Vollständigkeit, konjugierte Punkte, Jacobi-Felder, Schnittorte — das technische Werkzeug der praktischen riemannschen Geometrie. Der Rahmen unterscheidet die intrinsische Geometrie (was eine Ameise auf der Fläche feststellen kann, ohne sie zu verlassen) von der extrinsischen (wie die Fläche in einem umgebenden Raum liegt) — und Riemanns tiefe Einsicht war, dass die intrinsische Geometrie genügt. Wir müssen unser Universum in keinen höherdimensionalen Raum einbetten, um seine Krümmung zu fassen.
Die Allgemeine Relativitätstheorie — die erfolgreichste Beschreibung der Gravitation, die Menschen je gefunden haben — ist im Kern riemannsche Geometrie auf einer vierdimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit (beinahe-riemannsch, mit einer negativen Metrikkomponente, die die Zeit codiert). Materie und Energie krümmen die Metrik; die Bahnen frei fallender Körper sind Geodäten; der Urknall, Schwarze Löcher, Gravitationswellen sind sämtlich riemannsch-geometrische Phänomene. Computer Vision und Robotik arbeiten mit riemannscher Geometrie auf Konfigurationsräumen von Posen und Formen. Die Informationsgeometrie behandelt Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen als riemannsche Mannigfaltigkeiten mit der Fisher-Information als Metrik — ein Rahmen, der Teile der Statistik und des maschinellen Lernens neu sortiert hat. Die Optimierung auf Mannigfaltigkeiten — Gradientenabstieg, eingeschränkt auf einen gekrümmten Raum — gehört zum Standardwerkzeug moderner numerischer Methoden. Die Formanalyse in der medizinischen Bildgebung sieht anatomische Formen als Punkte in einem riemannschen Form-Raum und misst Abstände zwischen ihnen.