Die Bibliothek · MathematikTafel № 104 · Folio I
ILL. № 104
MATH
Plate — Reelle Zahlen
·Tafel № 104

Reelle Zahlen

Das Kontinuum aufgefüllt — und der Preis, den du fürs Auffüllen zahlst.
Als Nächstes empfohlen → Grenzwerte · MATH · T4
Facetten
  • √2 and lengths that are no ratio of integersnoch nicht geprüft
  • Dedekind cuts and Cauchy sequencesnoch nicht geprüft
  • Completeness: bounded sets have a least upper boundnoch nicht geprüft
  • Cantor's diagonal and the unspeakable realsnoch nicht geprüft
Der Beitrag

Die Griechen wussten von inkommensurablen Längen schon im fünften Jahrhundert v. Chr. Die Diagonale eines Einheitsquadrats misst √2, und √2 — entdeckten die Pythagoreer zu ihrem überlieferten Entsetzen — lässt sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen schreiben. Zweieinhalbtausend Jahre später benutzten arbeitende Analytiker noch immer beiläufig „reelle Zahlen“, ohne dass irgendjemand sagen konnte, was eine sei. Die Analysis ruhte auf einem Fundament, das niemand gebaut hatte. Die Reparatur kam in einem dreißigjährigen Schub am Ende des neunzehnten Jahrhunderts — Cauchy, Bolzano, Weierstraß, Dedekind, Cantor — und verlangte endlich eine ehrliche Antwort auf die Frage was ist das Kontinuum?

Zwei gleichwertige Konstruktionen kamen heraus. Dedekind-Schnitte (1872): eine reelle Zahl ist eine Aufteilung der rationalen Zahlen in eine untere und eine obere Menge, wobei jede rationale Zahl unterhalb des Schnitts in der unteren liegt und jede oberhalb in der oberen. Der Schnitt bei √2 setzt die rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist, nach unten und den Rest nach oben; die reelle Zahl ist der Schnitt. Cauchy-Folgen (Cantor, im selben Jahr): eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse rationaler Folgen, deren Glieder einander schließlich beliebig nahe kommen. Beide Definitionen liefern dasselbe Objekt — einen geordneten Körper mit der Vollständigkeitseigenschaft: jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke. Die Vollständigkeit ist das Axiom, das die reellen Zahlen von den rationalen scheidet, und sie ist genau das, was die Analysis braucht. Ohne sie könnten Folgen „beinahe“ konvergieren, ohne irgendwo zu konvergieren; Zwischenwertaussagen könnten zusammenbrechen; die Grundlagen der Analysis trügen schlicht nicht. Cantor zeigte überdies, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind: keine durch die natürlichen Zahlen indizierte Liste erfasst sie alle — sein Diagonalargument von 1891 ist einer der meistzitierten Beweise der Mathematik, und es bedeutet, dass fast jede reelle Zahl sich nicht durch einen endlichen Ausdruck beschreiben lässt. Die meisten reellen Zahlen sind in diesem Sinne unaussprechlich: sie existieren, die Theorie braucht sie, doch weder Mensch noch Computer kann je eine niederschreiben.

Warum jetztComputer können reelle Zahlen nicht speichern; sie speichern Gleitkomma-Näherungen — der IEEE-754-Standard ist gewissermaßen ein Arbeitskompromiss mit der Unmöglichkeit, das Kontinuum exakt darzustellen. Die numerische Analysis untersucht, wie schwer der Schaden der Näherung wiegt und was sich dagegen tun lässt. Die konstruktive Mathematik (Brouwer, Bishop) baut die Analysis neu auf und lässt nur die reellen Zahlen zu, die sich tatsächlich berechnen lassen, um den Preis einiger klassischer Sätze, dafür mit engerer algorithmischer Substanz. Die Kontinuumshypothese — ob zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen eine echte Zwischen-Unendlichkeit liegt — erwies sich bei Gödel und Cohen als unabhängig von ZFC: sie lässt sich widerspruchsfrei wahr oder falsch annehmen, ein ungelöstes Problem, das zu einem unlösbaren befördert wurde.