Reelle Zahlen

Dass es inkommensurable Strecken gibt, wussten die Griechen schon im fünften Jahrhundert v. Chr. Die Diagonale des Einheitsquadrats hat die Länge √2, und √2 — die Pythagoreer entdeckten es der Überlieferung nach zu ihrem Entsetzen — lässt sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen schreiben. Zweieinhalbtausend Jahre danach rechnete die Zunft noch immer wie selbstverständlich mit „reellen Zahlen“, ohne dass irgendjemand präzise hätte sagen können, was eine reelle Zahl ist. Die ganze Analysis ruhte auf einem Fundament, das nie jemand gelegt hatte. Gelegt wurde es im Lauf des neunzehnten Jahrhunderts — erst Bolzano und Cauchy, dann, in einem Schub von drei Jahrzehnten gegen Ende, Weierstraß, Dedekind, Cantor — und verlangte endlich eine ehrliche Antwort auf die Frage: Was ist das Kontinuum?

Zwei Konstruktionen entstanden, und sie erwiesen sich als gleichwertig. Der Dedekindsche Schnitt (1872): Eine reelle Zahl ist eine Zerlegung der rationalen Zahlen in eine Unter- und eine Obermenge — jede rationale Zahl unterhalb des Schnitts gehört zur unteren, jede oberhalb zur oberen. Beim Schnitt für √2 wandern alle rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist, nach unten und der Rest nach oben; die reelle Zahl ist dieser Schnitt. Die Cauchy-Folge (Cantor, im selben Jahr): Eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse rationaler Folgen, deren Glieder einander irgendwann beliebig nahekommen. Beide Wege führen zum selben Objekt, einem angeordneten Körper mit der Vollständigkeitseigenschaft: Jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke. Die Vollständigkeit ist das Axiom, das die reellen Zahlen von den rationalen trennt, und genau auf sie ist die Analysis angewiesen. Ohne sie gäbe es Folgen, die „beinahe“ konvergieren, nur eben gegen nichts; der Zwischenwertsatz käme ins Rutschen; die Grundlagen des Fachs trügen schlicht nicht. Von Cantor stammt außerdem der Nachweis, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind: Keine mit den natürlichen Zahlen durchnummerierte Liste kann sie alle erfassen. Sein Diagonalargument von 1891 gehört zu den meistzitierten Beweisen der Mathematik — und es hat eine bemerkenswerte Konsequenz: Fast keine reelle Zahl lässt sich durch einen endlichen Ausdruck beschreiben. Die meisten reellen Zahlen sind in diesem Sinne unaussprechlich: Es gibt sie, die Theorie kann auf sie nicht verzichten, doch kein Mensch und kein Computer wird je eine einzige von ihnen hinschreiben.