Das achtzehnte Jahrhundert hindurch lieferte die Analysis außerordentliche Ergebnisse und ruhte dabei auf begrifflichen Grundlagen, die niemand recht erklären konnte. Infinitesimale — Größen, kleiner als jede positive Zahl und doch nicht null — wurden frei verwendet. Reihen wurden summiert, ohne dass irgendwer ihre Konvergenz gezeigt hätte. Funktionen galten als so wohlerzogen, wie ihre Formeln vermuten ließen. Bischof George Berkeley spottete 1734 über die Praxis als die Geister entschwundener Größen. Die Reparatur kam in einem dreißigjährigen Schub am Ende des neunzehnten Jahrhunderts — Cauchy in den 1820ern, dann Bolzano, Weierstraß, Riemann, Dedekind, Cantor — und gebar die reelle Analysis: die ε-δ-Disziplin, die intuitives Rechnen von strenger Mathematik trennte.
Die reelle Analysis ist Analysis, in der jeder Grenzwert, jede Ableitung, jedes Integral präzise gefasst und jeder Satz aus ersten Prinzipien bewiesen ist. Der Apparat kreist um eine zentrale Eigenschaft der reellen Zahlen: die Vollständigkeit. Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, deren Glieder sich am Ende beliebig nahe an einander heranschieben; in den rationalen Zahlen kann eine solche Folge gegen nichts Rationales konvergieren (die Partialsummen für √2 sind Cauchy, der Grenzwert irrational), in den reellen Zahlen aber konvergiert jede Cauchy-Folge. Diese eine Tatsache scheidet ℝ von ℚ und macht die Analysis auf den reellen Zahlen erst lauffähig. Aus der Vollständigkeit fallen die Strukturtheoreme, die das achtzehnte Jahrhundert ungeprüft mitgenommen hatte — Bolzano-Weierstraß für beschränkte Folgen, Heine-Borel, das Kompaktheit mit den abgeschlossen-beschränkten Teilmengen gleichsetzt, der Zwischenwert- und der Extremwertsatz, und die Bedingungen, unter denen der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.
Das zweite große Thema ist, was geschieht, wenn man die Grundideen ausdehnt. Reihen konvergieren absolut, bedingt oder gar nicht, und bedingt konvergente Reihen liefern je nach Summationsreihenfolge verschiedene Summen. Die gleichmäßige Konvergenz erhält die Stetigkeit im Grenzwert; die punktweise tut es nicht. Das Riemann-Integral genügt für die meisten Funktionen der elementaren Analysis, versagt aber bei Funktionen mit zu vielen Unstetigkeiten — das mächtigere Lebesgue-Integral, auf der Maßtheorie gebaut, holt das wieder ein. Treibt man es weiter, gelangt man in Funktionenräume (Lᵖ, Banach, Hilbert), Funktionalanalysis, partielle Differentialgleichungen, strenge Quantenmechanik, Signalverarbeitung. Die Disziplin des strengen Beweises, die die reelle Analysis verkörpert, schied die Mathematik vom intuitiven Rechnen; Berkeleys Geister entschwundener Größen brauchten hundertfünfzig Jahre, um Wissenschaft zu werden.
Die Funktionalanalysis — reelle und komplexe Analysis auf unendlich-dimensionalen Räumen — trägt die strenge Fassung der Quantenmechanik (Wellenfunktionen leben in einem Hilbert-Raum), der Signalverarbeitung (die Fourier-Transformation auf Lᵖ), der partiellen Differentialgleichungen (Sobolew-Räume, schwache Lösungen) und der Theorie des maschinellen Lernens (Kernmethoden arbeiten in reproduzierenden Kern-Hilbert-Räumen). Die Numerische Analysis schätzt Fehler, Konvergenzraten und Stabilität real-analytisch ab. Die Stochastische Analysis — reelle Analysis, an Zufallsprozesse angepasst, mit Brownscher Bewegung und Itô-Kalkül — trägt die mathematische Finanzwissenschaft (Black-Scholes), die Regelungstheorie und die moderne Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Disziplin des strengen Beweises, die die reelle Analysis verkörpert, ist das, was Mathematik vom intuitiven Rechnen trennt.