Reelle Analysis

Infinitesimalrechnung, diesmal mit den Beweisen, die das achtzehnte Jahrhundert schuldig geblieben war: Die ε-δ-Disziplin trennt die Anschauung von der Strenge.

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Das ganze achtzehnte Jahrhundert hindurch lieferte die Infinitesimalrechnung großartige Ergebnisse auf begrifflichen Grundlagen, die niemand recht erklären konnte. Mit Infinitesimalen — kleiner als jede positive Zahl und doch von null verschieden — wurde ungeniert gerechnet. Reihen wurden summiert, ohne dass jemand ihre Konvergenz nachgewiesen hätte. Von Funktionen nahm man an, sie seien so gutartig, wie ihre Formeln aussahen. Bischof George Berkeley spottete 1734, hier werde mit den Geistern entschwundener Größen hantiert. Die Instandsetzung zog sich durch das ganze neunzehnte Jahrhundert — Bolzano 1817, Cauchy in den 1820ern, danach Weierstraß, Riemann, Dedekind, Cantor — und aus ihr ging die reelle Analysis hervor: jene ε-δ-Disziplin, die das intuitive Rechnen von der strengen Mathematik schied.

Reelle Analysis heißt: Infinitesimalrechnung, in der jeder Grenzwert, jede Ableitung und jedes Integral genau gefasst und jeder Satz aus den ersten Grundlagen heraus bewiesen wird. Alles dreht sich dabei um eine einzige Eigenschaft der reellen Zahlen, die Vollständigkeit. Eine Cauchy-Folge ist eine, deren Glieder sich auf Dauer beliebig dicht an einander schieben; in ℚ kann eine solche Folge gegen nichts Rationales streben — die Partialsummen für √2 sind Cauchy, ihr Grenzwert ist irrational —, in ℝ dagegen konvergiert jede. Diese eine Tatsache trennt ℝ von ℚ und macht die Analysis über den reellen Zahlen erst tragfähig. Aus der Vollständigkeit fällt der ganze Vorrat an Strukturaussagen, den das achtzehnte Jahrhundert unbewiesen benutzt hatte: Bolzano-Weierstraß über beschränkte Folgen, Heine-Borel, das die Kompaktheit mit Abgeschlossenheit und Beschränktheit gleichsetzt, Zwischenwert- und Extremwertsatz, dazu die Voraussetzungen, unter denen der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

Das zweite große Thema beginnt dort, wo man die Grundbegriffe dehnt. Reihen konvergieren absolut, bedingt oder gar nicht, und bei bedingter Konvergenz hängt die Summe von der Reihenfolge der Glieder ab. Die gleichmäßige Konvergenz vererbt die Stetigkeit an den Grenzwert, die punktweise tut das nicht. Das Riemann-Integral reicht für nahezu alles, was in der Grundvorlesung vorkommt, versagt aber, sobald eine Funktion zu viele Unstetigkeitsstellen hat; das stärkere Lebesgue-Integral, auf der Maßtheorie errichtet, fängt diese Fälle auf. Wer weitergeht, landet in den Funktionenräumen — Lᵖ, Banach, Hilbert —, in der Funktionalanalysis, bei den partiellen Differentialgleichungen, in der streng gefassten Quantenmechanik und in der Signalverarbeitung. Die Strenge des Beweisens, für die die reelle Analysis steht, hat die Mathematik vom Rechnen nach Gefühl geschieden; Berkeleys Geister entschwundener Größen brauchten hundertfünfzig Jahre, bis aus ihnen eine Wissenschaft wurde.

Warum jetztDie Funktionalanalysis — reelle und komplexe Analysis auf unendlichdimensionalen Räumen — trägt die strenge Formulierung der Quantenmechanik, wo die Wellenfunktionen in einem Hilbertraum sitzen, der Signalverarbeitung mit der Fourier-Transformation auf Lᵖ, der partiellen Differentialgleichungen mit Sobolew-Räumen und schwachen Lösungen und der Theorie des maschinellen Lernens, deren Kernmethoden in reproduzierenden Kern-Hilberträumen arbeiten. Die Numerik schätzt Fehler, Konvergenzgeschwindigkeit und Stabilität mit reell-analytischen Mitteln ab. Die stochastische Analysis — dieselben Werkzeuge, auf Zufallsprozesse übertragen, mit Brownscher Bewegung und Itô-Kalkül — trägt die Finanzmathematik (Black-Scholes), die Regelungstheorie und die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie. Und dass die reelle Analysis den strengen Beweis zur Pflicht macht, ist genau das, was Mathematik vom Rechnen nach Gefühl trennt.

Zur VertiefungRudins Principles of Mathematical Analysis (1976) ist nach wie vor der Standard für ein strenges Semester — knapp und fordernd, und zwar mit Absicht. Sanfter und weit stärker motiviert führt Abbotts Understanding Analysis (2. Aufl., 2015) in dasselbe Gebiet; dazwischen liegt Pughs Real Mathematical Analysis (2015). Für die Maßtheorie und das tägliche Handwerkszeug des Analytikers ist Royden und Fitzpatricks Real Analysis (4. Aufl., 2010) die übliche Fortsetzung auf Master-Niveau.