Jede Kultur fand irgendeine Weise, mit Teilen eines Ganzen umzugehen. Die Ägypter nutzten Stammbrüche (1/n) und drückten 2/5 als 1/3 + 1/15 aus, weil die Notation auf dem Zähler 1 bestand. Die Babylonier nutzten Sechziger-Brüche, weshalb wir immer noch 60-Minuten-Stunden und 360-Grad-Kreise haben. Die Griechen sprachen von Verhältnissen zwischen kommensurablen Größen. Das vereinigende Objekt — eine Zahl, die der Quotient zweier ganzer Zahlen ist — bekam den Namen rational (von ratio) und wurde zu einem der Fundamente der Arithmetik. Bis die Pythagoreer eine Länge fanden, die keine rationale Zahl ausdrücken konnte, galten Verhältnisse als genug.
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Bruch p/q schreiben lässt, mit p, q ganz und q ≠ 0. Die Menge heißt ℚ. Zwei Brüche sind gleich, wenn ihr Überkreuzprodukt übereinstimmt: p/q = r/s genau dann, wenn ps = qr. Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind die eigentlichen rationalen Zahlen; 1/2, 2/4 und 50/100 sind dieselbe rationale Zahl. Die Operationen auf rationalen Zahlen: Addition über den gemeinsamen Nenner (p/q + r/s = (ps + qr)/qs); Multiplikation geradeheraus (p/q × r/s = pr/qs); Division (p/q ÷ r/s = ps/qr, sofern r ≠ 0). Die vier Operationen machen ℚ zu einem Körper — jedes von null verschiedene Element hat ein multiplikatives Inverses —, und ℚ ist der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen enthält. Dezimaldarstellungen: eine rationale Zahl hat eine abbrechende Darstellung (etwa 1/4 = 0,25) genau dann, wenn ihr Nenner in gekürzter Form nur 2 und 5 als Primfaktoren hat; sonst ist die Darstellung schließlich periodisch (1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857142857…). Jede periodische Dezimaldarstellung ist rational. Dichte: zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt eine weitere (und damit unendlich viele) — ℚ hat in diesem Sinn keine Lücken. Mächtigkeit: trotz dieser Dichte sind die rationalen Zahlen abzählbar — Cantors Paarungsfunktion listet sie alle auf. Im präzisen Sinn Cantors sind die rationalen Zahlen nicht größer als die ganzen.
Der größte Teil des alltäglichen numerischen Rechnens läuft auf rationalen Zahlen (oder, häufiger, auf endlich-präzisen Näherungen davon). Die Informatik unterscheidet exakte rationale Arithmetik — langsam, auf großen ganzen Zahlen aufgebaut, in Computeralgebra-Systemen und zertifizierter numerischer Software — von der Gleitkomma-Arithmetik — schnell, näherungsweise, überall dort, wo es auf Leistung ankommt. Kettenbrüche (eine Darstellung rationaler und irrationaler Zahlen als geschachtelte ganzzahlige Divisionen) tauchen in der Theorie der besten rationalen Näherung auf — Grundlage musikalischer Stimmungen, von Übersetzungsverhältnissen in Getrieben und des Stern-Brocot-Baums, den manche Animationsverfahren verwenden. Die Wahrscheinlichkeit ist bei diskreten Stichprobenräumen im Kern rationale Arithmetik (die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, ist 1/6, eine exakte rationale Zahl). Die Musiktheorie: die reine Stimmung nutzt für harmonische Intervalle rationale Verhältnisse aus kleinen ganzen Zahlen.