Die Bibliothek · MathematikTafel № 212 · Folio I
ILL. № 212
MATH
Plate — Rationale Zahlen
·Tafel № 212

Rationale Zahlen

Mit Brüchen hat jeder Quotient eine Antwort, und jede Messung lässt sich im Prinzip als Verhältnis zweier ganzer Zahlen schreiben — so sah es aus, bis die Pythagoreer auf eine Länge stießen, für die es keinen Bruch gibt.
Als Nächstes empfohlen → Reelle Zahlen · MATH · T4
Facetten
  • p/q as equivalence classes under cross-multiplicationnoch nicht geprüft
  • The four operations making ℚ the smallest field over ℤnoch nicht geprüft
  • Terminating versus eventually periodic decimalsnoch nicht geprüft
  • Dense with no gaps yet still countablenoch nicht geprüft
Der Beitrag

Für die Teile eines Ganzen hat sich jede Kultur eine eigene Schreibweise zurechtgelegt. Die Ägypter kannten nur Stammbrüche (1/n) — 2/5 mussten sie als 1/3 + 1/15 schreiben, weil ihre Notation im Zähler die 1 verlangte. Die Babylonier rechneten mit Sexagesimalbrüchen; ihnen verdanken wir bis heute die Stunde zu 60 Minuten und den Kreis zu 360 Grad. Die Griechen sprachen von Verhältnissen zwischen kommensurablen Größen. Was all dem zugrunde liegt — eine Zahl, die Quotient zweier ganzer Zahlen ist —, erhielt den Namen rational, nach dem lateinischen ratio, und wurde zu einem Fundament der Arithmetik. Die griechische Untersuchung inkommensurabler Größen zeigte, dass sich nicht jede geometrisch bestimmte Länge als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt.

Eine rationale Zahl ist eine Zahl von der Form p/q — p und q ganze Zahlen, q ≠ 0. Ihre Menge trägt das Zeichen ℚ. Wann zwei Brüche gleich sind, entscheidet das Multiplizieren über Kreuz: p/q = r/s genau dann, wenn ps = qr. Die eigentlichen rationalen Zahlen sind die Äquivalenzklassen dieser Relation — 1/2, 2/4 und 50/100 sind ein und dieselbe Zahl. Die Rechenoperationen: Addiert wird über den Hauptnenner, p/q + r/s = (ps + qr)/qs; multipliziert wird geradewegs, p/q × r/s = pr/qs; dividiert wird mit dem Kehrwert, p/q ÷ r/s = ps/qr für r ≠ 0. Mit diesen vier Operationen ist ℚ ein Körper — jedes Element außer null besitzt ein multiplikatives Inverses —, und zwar der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen enthält. Dezimalbrüche: Die Entwicklung einer rationalen Zahl bricht ab (etwa 1/4 = 0,25) genau dann, wenn ihr Nenner nach dem Kürzen keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat; andernfalls wird sie schließlich periodisch (1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857142857…). Umgekehrt gehört zu jedem periodischen Dezimalbruch eine rationale Zahl. Zur Dichtheit: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt stets eine dritte — und damit gleich unendlich viele; in diesem Sinn hat ℚ keine Lücken. Und doch, zur Mächtigkeit: Die rationalen Zahlen sind abzählbar — Cantors Paarungsfunktion bringt sie restlos in eine Liste. Im präzisen Sinn Cantors gibt es nicht mehr rationale Zahlen als ganze.

Warum jetztWas im Alltag numerisch gerechnet wird, ist fast durchweg rationale Arithmetik — oder öfter noch: Arithmetik mit Näherungen endlicher Genauigkeit. Die Informatik trennt sauber zwischen exakter Bruchrechnung — langsam, auf Langzahlen aufgebaut, zu Hause in Computeralgebrasystemen und zertifizierter Numerik-Software — und dem Gleitkomma — schnell, näherungsweise, überall im Einsatz, wo es auf Tempo ankommt. Kettenbrüche, die rationale wie irrationale Zahlen als ineinandergeschachtelte ganzzahlige Divisionen darstellen, tragen die Theorie der besten rationalen Approximation — auf ihr beruhen musikalische Stimmungen, Übersetzungsverhältnisse von Getrieben und der Stern-Brocot-Baum, der zu jedem Intervall den einfachsten Bruch darin liefert. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist bei diskreten Ergebnisräumen im Kern Bruchrechnung — die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, beträgt exakt 1/6. Und die Musiktheorie: In der reinen Stimmung stehen hinter den wohlklingenden Intervallen rationale Verhältnisse kleiner ganzer Zahlen.