Zufallsvariablen

Nicht mehr das Ereignis zählt, sondern eine Zahl, die vom Ausgang abhängt. Mit diesem Wechsel steht der Wahrscheinlichkeitsrechnung der gesamte Apparat der Analysis offen.

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Der Beitrag

Zwei Jahrhunderte lang, von Pascal und Fermat an, war die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Lehre von Ereignissen: Die Münze zeigt Kopf, die Karte ist eine Dame, zwei Würfel ergeben zusammen sieben. Die Arithmetik trug — aber zur Analysis, die die übrige Mathematik im selben Zeitraum errichtete, fand die Theorie keinen rechten Anschluss. Der Durchbruch war ein Wechsel der Notation, so unscheinbar, dass man ihn glatt übersehen kann: Man spricht nicht mehr über das Ereignis selbst, sondern über eine Zahl, die vom Ausgang abhängt. Man erkläre zu eigenständigen Objekten: wie oft in zehn Würfen Kopf fällt, was zwei Würfel zusammen zeigen, wie lange es bis zum nächsten Bus dauert. Von da an strömt der Apparat der Analysis — Ableitungen, Integrale, Grenzwerte — durch die offene Tür in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, und aus der Ereignislehre wird das eine, geschlossene Fach, das wir heute lehren.

Formal ist eine Zufallsvariable X eine Funktion vom Ergebnisraum Ω in die reellen Zahlen; technisch verlangt man dazu, dass das Urbild jeder vernünftigen Teilmenge von ℝ eine messbare Menge in Ω ist. Diese Forderung ist eine maßtheoretische Feinheit, die sicherstellt, dass sich Wahrscheinlichkeiten widerspruchsfrei zuweisen lassen; der Gedanke dahinter ist denkbar schlicht — eine Zahl, die man abliest, sobald das Experiment gelaufen ist. Zwei Spielarten sind zu unterscheiden. Diskrete Zufallsvariablen nehmen Werte in einer abzählbaren Menge an: wie oft in N Würfen Kopf fällt, wie viele Kunden binnen einer Stunde eintreffen, die Farbe einer gezogenen Karte, als 1–4 codiert. Stetige Zufallsvariablen nehmen Werte in einem Kontinuum an: die Körpergröße einer zufällig herausgegriffenen Person, die Wartezeit bis zum nächsten Erdbeben, der schwankende Kurs einer Aktie. In beiden Fällen leistet die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) die Beschreibung — sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Variable unter einer gegebenen Schranke bleibt. Aus ihr gewinnt man im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeitsfunktion, im stetigen die Dichtefunktion; darin steckt der volle statistische Gehalt. Der eigentliche Lohn aber: Die gesamte Analysis steht jetzt offen. Erwartungswerte sind Integrale, Varianzen auch, Konvergenzsätze werden beweisbar — die ganze Maschinerie der Analysis nimmt sich der Ungewissheit an. Ohne Zufallsvariablen ließe sich der Zentrale Grenzwertsatz nicht einmal aussprechen, geschweige denn beweisen.

Warum jetztJedes angewandte Wahrscheinlichkeitsmodell der heutigen Wissenschaft und Technik ist um Zufallsvariablen herum gebaut. Simulationen der Teilchenphysik modellieren Zerfallszeiten, Streuwinkel und Detektorrauschen als Zufallsvariablen; Verlustfunktionen des maschinellen Lernens sind Erwartungswerte von Zufallsvariablen — der Verlust als Funktion eines zufällig gezogenen Trainingsbeispiels; die Zuverlässigkeitstechnik fasst die Zeit bis zum Ausfall als Zufallsvariable mit passend gewählter Verteilung; Finanzmodelle verfahren mit Renditen, Volatilitäten und plötzlich eintreffenden Schocks nicht anders. Der begriffliche Schritt — vom Ereignis zur Zahl, die vom Ausgang abhängt — ist die Brücke, über die die Wahrscheinlichkeitsrechnung in die übrige quantitative Wissenschaft hineinwirkt.