Satz des Pythagoras

Die berühmteste Gleichung der Mathematik — a² + b² = c² — stammt nicht von Pythagoras. Babylonische Tontafeln aus rund 1800 v. Chr., über ein Jahrtausend vor der Geburt des griechischen Philosophen, listen pythagoreische Tripel (3-4-5, 5-12-13 usw.) mit einer Präzision, die nahelegt, dass die Beziehung schon verstanden war. Die Ägypter benutzten 3-4-5-Seile, um rechte Winkel für Pyramiden abzustecken. Was Pythagoras (oder seine Schule) angeblich beisteuerte — um 530 v. Chr. — war der erste Beweis: ein logisches Argument dafür, dass die Beziehung für jedes rechtwinklige Dreieck gilt, nicht nur für jene, die die Vermesser gemessen hatten. Ob der historische Pythagoras es tatsächlich bewies, weiß niemand. Der Bund, der seinem Namen folgte, war geheim, vegetarisch und voller Schrecken vor Irrationalzahlen: die Sage will, dass das Mitglied, das zuerst erkannte, dass √2 sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen schreiben lässt — eine direkte Folge des Satzes, angewandt auf die Diagonale eines Einheitsquadrats — im Meer ertränkt wurde, damit die Nachricht sich nicht ausbreite.

Die Aussage ist karg: im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten. Der Satz hat mehr bekannte Beweise als jeder andere in der Mathematik — über vierhundert sind katalogisiert, darunter einer (Garfields), den ein späterer US-Präsident im Sitzungssaal des Kongresses verfasste. Seine Folgen ziehen sich durch beinahe die ganze Geometrie. Die Abstandsformel — d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) — ist Pythagoras, zweimal angewandt. Die euklidische Metrik, die übliche Weise, Abstand in beliebigen Dimensionen zu messen, verallgemeinert Pythagoras: ‖v‖ = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²). Der Kosinussatz erweitert Pythagoras auf nicht rechtwinklige Dreiecke: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ); für γ = 90° fällt das Original heraus. Pythagoreische Tripel — ganzzahlige Lösungen wie (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) — bilden eine unendliche Familie, die sich nach einfachen Regeln parametrisieren lässt. Fermats Letzter Satz — die Vermutung, dass aⁿ + bⁿ = cⁿ für kein n > 2 ganzzahlige Lösungen besitzt — ist eine Aussage über das Versagen Pythagoras-artiger Beziehungen bei höheren Exponenten; er stand 358 Jahre unbewiesen, bis Andrew Wiles ihn 1995 in einem über hundertseitigen Beweis erbrachte, der nahezu jeden Zweig der modernen Zahlentheorie streift. Die tiefste Beobachtung jedoch lautet: der Satz des Pythagoras charakterisiert die euklidische Geometrie. Ändert man die Abstandsformel, erhält man nicht-euklidische Geometrien — riemannsche, hyperbolische, sphärische —, jede zu einer anderen Krümmung des Raumes passend; eine davon beschreibt am Ende tatsächlich das Universum, über die Allgemeine Relativitätstheorie.