Satz des Pythagoras

Die berühmteste Gleichung der Mathematik — a² + b² = c² — hat Pythagoras nicht entdeckt. Babylonische Tontafeln aus der Zeit um 1800 v. Chr., gut ein Jahrtausend vor der Geburt des Griechen, verzeichnen pythagoreische Tripel — 3-4-5, 5-12-13 und weitere — so präzise, dass die Beziehung damals offenbar längst bekannt war. Ägyptische Bauleute steckten rechte Winkel für ihre Pyramiden mit Seilen im Verhältnis 3-4-5 ab. Was Pythagoras oder seine Schule um 530 v. Chr. hinzugetan haben soll, ist der erste Beweis: die Einsicht, dass die Beziehung in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt und nicht bloß in denen, die je ein Feldmesser nachgemessen hatte. Ob der historische Pythagoras je einen Beweis führte, weiß niemand. Sein Bund jedenfalls war verschwiegen, vegetarisch und vom Irrationalen zutiefst verstört: Wer als Erster erkannte, dass sich √2 nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt — eine unmittelbare Folge des Satzes, angewandt auf die Diagonale des Einheitsquadrats —, wurde der Legende nach auf See ertränkt, damit die Kunde nicht nach außen drang.

Die Aussage selbst ist karg: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Kein Satz der Mathematik ist öfter bewiesen worden — über dreihundertsechzig Beweise sind katalogisiert, darunter der Beweis Garfields, eines späteren US-Präsidenten, entstanden während einer Sitzung des Kongresses. Und kaum ein Satz reicht weiter. Die Abstandsformel d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) ist Pythagoras, zweimal angewandt. Die euklidische Metrik ‖v‖ = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²), das übliche Abstandsmaß in beliebig vielen Dimensionen, verallgemeinert ihn. Der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab·cos(γ) dehnt ihn auf schiefwinklige Dreiecke aus; für γ = 90° kommt der alte Satz wieder zum Vorschein. Die pythagoreischen Tripel — ganzzahlige Lösungen wie (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) — bilden eine unendliche Familie, die sich nach einfachen Regeln parametrisieren lässt. Der Große Fermatsche Satz — aⁿ + bⁿ = cⁿ hat für kein n > 2 eine ganzzahlige Lösung — handelt davon, dass pythagoreische Beziehungen bei höheren Exponenten scheitern; 358 Jahre blieb er unbewiesen, bis Andrew Wiles ihn 1995 bewies — auf über hundert Seiten und unter Aufbietung fast der gesamten modernen Zahlentheorie. Die tiefste Einsicht aber: Der Satz des Pythagoras kennzeichnet die euklidische Geometrie. Wer das Abstandsmaß ändert, bekommt nichteuklidische Geometrien — riemannsche, hyperbolische, sphärische —, jede passend zu einer anderen Krümmung des Raumes. Eine davon beschreibt, wie sich mit der Allgemeinen Relativitätstheorie herausstellte, das wirkliche Universum.