Wahrscheinlichkeit

Was man glaubt, lässt sich als Zahl schreiben — und drei Axiome legen fest, wie diese Zahl sich zu ändern hat, sobald Evidenz hinzukommt.

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Im Sommer 1654 wandte sich ein französischer Adliger, dem das Glücksspiel zu schaffen machte, an den Mathematiker Blaise Pascal: Wenn zwei Spieler eine Partie mittendrin abbrechen müssen — wie ist der Einsatz zu teilen? Die naheliegenden Antworten widersprachen einander. Pascal wälzte die Frage mit Pierre de Fermat in einem kurzen, glänzenden Briefwechsel hin und her, und dabei entstand die mathematische Theorie der Wahrscheinlichkeit — jenes Fach, das drei Jahrhunderte später das Versicherungswesen, die Quantenmechanik, das maschinelle Lernen, die Gesundheitspolitik und die gesamte empirische Methode der modernen Wissenschaft tragen sollte. Die konkrete Wette ließ sich rasch berechnen; eine allgemeine mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie entstand erst im Laufe des folgenden Jahrhunderts.

Drei Axiome, 1933 von Andrei Kolmogorow aufgeschrieben, tragen die ganze moderne Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ; der gesamte Ergebnisraum hat die Wahrscheinlichkeit 1; und die Wahrscheinlichkeiten disjunkter Ereignisse addieren sich. Aus diesem Wenigen entfaltet sich alles Übrige: die bedingte Wahrscheinlichkeit — die Aussicht auf A, gegeben dass B eingetreten ist —, die Unabhängigkeit, bei der das Bedingen auf B die Wahrscheinlichkeit von A unberührt lässt, die Zufallsvariablen als Zahlfunktionen der Ergebnisse, der Erwartungswert als ihr Durchschnitt auf lange Sicht, die Varianz als ihre Streuung. Formal ist Wahrscheinlichkeit ein Maß auf einer σ-Algebra von Teilmengen des Ergebnisraums — und über diese Naht kommen Differential- und Integralrechnung mitsamt der gesamten Analysis herein. Zwei Deutungen dieser Zahlen bestehen seit dem 18. Jahrhundert nebeneinander. Frequentisten lesen sie als relative Häufigkeit auf lange Sicht, als Eigenschaft eines wiederholbaren Versuchs. Bayesianer lesen sie als Überzeugungsgrad, den man fortschreibt, sobald Evidenz eintrifft. Die Rechnung ist dieselbe, die philosophische Festlegung nicht. Den größten Teil des 20. Jahrhunderts beherrschte der Frequentismus die angewandte Statistik; die bayessche Wiederkehr seit den 1980er Jahren — getragen von billiger Rechenleistung und der Einsicht, dass sich viele wirkliche Fragen gar nicht wiederholen lassen — hat Felder von der Genetik bis zur KI umgebaut. Die eigentliche Leistung der Theorie liegt tiefer: Sie gab dem Menschen eine genaue Sprache für das, was er nicht weiß — nicht bloß ich bin mir unsicher, sondern so ist meine Ungewissheit geformt, und so hat sie sich zu ändern, wenn Evidenz hinzukommt.

Warum jetztWahrscheinlichkeit ist heute die Betriebssprache der empirischen Wissenschaft: p-Werte in klinischen Studien, A-posteriori-Verteilungen im maschinellen Lernen, Monte-Carlo-Simulationen in der Physik, Risikomodelle im Finanzwesen, probabilistische Vorhersagen in Epidemiologie und Meteorologie. Die Replikationskrise der Sozialwissenschaften war im Kern eine Krise des Wahrscheinlichkeitsverständnisses — eine ganze Forschergeneration rechnete Nullhypothesen-Tests, die sie nie wirklich durchdrungen hatte. Ob das öffentliche Nachdenken je probabilistischer wird — ob Menschen lernen, in Verteilungen statt in Punktschätzungen zu denken —, ist damit noch nicht entschieden; entschieden wird daran allerdings einiges, von Wahlen bis zu Pandemien.