Potenzreihen

In der Nähe eines Punktes ist fast jede Funktion ein Polynom unendlicher Länge. Genau davon lebt der Rechner: Einen Sinus liefert er, indem er ein paar Glieder dieser Reihe aufsummiert.

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Dass sich Sinus, Kosinus und Arkustangens als unendliche Summen von Potenzen ihres Arguments schreiben lassen, wusste man in Indien schon im vierzehnten Jahrhundert: Madhava von Sangamagrama, Mathematiker der Kerala-Schule, kam damit drei Jahrhunderte vor Newton — und trieb π mit der Arkustangens-Reihe auf elf Nachkommastellen. Nur gelangten die Ergebnisse aus Kerala nie nach Europa. Als Newton, Gregory, Leibniz und zuletzt Brook Taylor die Technik im siebzehnten Jahrhundert neu entwickelten, fanden sie Madhavas Einsicht ein zweites Mal: In der Nähe eines Punktes lässt sich fast jede Funktion durch ein Polynom hinreichend hohen Grades beliebig genau annähern. Im Grenzübergang wurden aus den Polynomen Potenzreihen.

Die tragende Behauptung — 1715 von Taylor formuliert, ein Jahrhundert später von Cauchy in ihre saubere moderne Gestalt gebracht — lautet: Eine glatte Funktion ist nahe einem Punkt durch ihre dortigen Ableitungen vollständig bestimmt. In f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ steckt das gesamte lokale Verhalten von f, aufgehoben in einer einzigen Zahlenfolge. Für Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus konvergiert die Reihe auf der ganzen reellen Achse; Logarithmus, geometrische Reihe und die meisten übrigen Transzendenten kommen nur bis zu einem endlichen Konvergenzradius, den die nächstgelegene Singularität diktiert — und den die Formel von Cauchy-Hadamard, 1/R = lim sup |cₙ|^{1/n}, direkt aus den Koeffizienten abliest. Glattheit allein genügt dabei nicht: e^{−1/x²} ist bei null glatt, sämtliche Ableitungen verschwinden — die Taylorreihe ist dort also die Nullreihe, die Funktion aber ist nicht die Nullfunktion. Wo Taylorreihe und Funktion übereinstimmen, heißt die Funktion analytisch, und der Spalt zwischen glatt und analytisch gehört zu den grundlegenden Unterscheidungen der reellen Analysis.

Innerhalb des Konvergenzradius rechnen Potenzreihen wie Polynome: Addieren, Multiplizieren, gliedweises Ableiten und Integrieren — alles erlaubt, alles verhält sich wie erwartet. Davon leben die erzeugenden Funktionen: Die Fibonacci-Erzeugende 1/(1 − x − x²) und der binomische Lehrsatz sind die kleinen Schulbeispiele, und dieselbe Technik erledigt Rekursionen, an deren geschlossener Form jeder Mensch scheiterte. Laurentreihen, Potenzreihen mit negativen Exponenten, klassifizieren die Singularitäten in der komplexen Ebene; die analytische Fortsetzung schließlich dehnt eine lokal als Potenzreihe gegebene Funktion auf ihren größtmöglichen Definitionsbereich aus — aus lokalen Ableitungsdaten wird ein globales Objekt.

Warum jetztWo angewandt gerechnet wird, sind Potenzreihen im Spiel. Der Taschenrechner, der sin(0,1) liefert, summiert ein paar Taylorglieder und rundet; ein Differenzenverfahren, das eine Differentialgleichung integriert, arbeitet mit abgebrochenen Taylorentwicklungen der gesuchten Funktion. Die Störungstheorie der Physik entwickelt ihre Größen nach einem kleinen Parameter — nach der Kopplungskonstante in der Quantenfeldtheorie, nach 1/c² in der post-newtonschen Gravitation, nach ℏ auf dem Weg von der Quantenmechanik zur klassischen — und liest die Korrekturen Ordnung für Ordnung ab. Das automatische Differenzieren der ML-Frameworks PyTorch und JAX ist, dem Geist nach, eine Maschine, die Taylorkoeffizienten von Rechengraphen effizient bestimmt. Dass glatte Funktionen aus der Nähe wie Polynome aussehen — eine kleine Beobachtung, und doch eine der meistbenutzten Tatsachen der angewandten Mathematik.

Zur VertiefungCalculus (Spivak, 4. Aufl., 2008). Principles of Mathematical Analysis (Rudin, 3. Aufl., 1976). generatingfunctionology (Wilf, 3. Aufl., 2006). Analytic Combinatorics (Flajolet & Sedgewick, 2009).