Im vierzehnten Jahrhundert entdeckte der indische Mathematiker Madhava von Sangamagrama — drei Jahrhunderte vor Newton, in der Kerala-Schule —, dass Sinus, Kosinus und Arkustangens sich jeweils als unendliche Summen von Potenzen ihres Arguments schreiben lassen. Mit der Arkustangens-Reihe rechnete er π auf elf Dezimalstellen aus. Die Kerala-Ergebnisse gingen Europa verloren; als Newton, Gregory, Leibniz und schließlich Brook Taylor die Technik im siebzehnten Jahrhundert noch einmal fanden, fanden sie Madhavas Einsicht: fast jede Funktion lässt sich nahe einem Punkt durch ein Polynom hohen Grades beliebig gut annähern. Im Grenzwert wurden aus den Polynomen die Potenzreihen.
Der tiefe Satz, 1715 von Taylor festgehalten und ein Jahrhundert später von Cauchy in saubere Form gebracht, lautet: eine glatte Funktion nahe einem Punkt steht durch ihre Ableitungen dort fest. f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ verschlüsselt das ganze lokale Verhalten von f in einer einzigen Zahlenfolge. Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus konvergieren auf der gesamten reellen Achse. Logarithmus, geometrische Reihe und die übrigen Transzendenten konvergieren innerhalb eines endlichen Radius, den die nächste Singularität festlegt, wobei die Cauchy-Hadamard-Formel 1/R = lim sup |cₙ|^{1/n} den Radius aus den Koeffizienten abliest. Glatt allein reicht nicht: e^{−1/x²} ist bei null glatt mit lauter Ableitungen null, ist aber nicht die Nullfunktion — die Taylorreihe ist dort identisch null, die Funktion nicht. Funktionen, deren Taylorreihe mit der Funktion zusammenfällt, heißen analytisch, und die Lücke zwischen glatt und analytisch zählt zu den grundlegenden Unterscheidungen der reellen Analysis.
Potenzreihen erben die Algebra der Polynome fast wörtlich: innerhalb des Konvergenzradius verhalten sich Addition, Multiplikation, gliedweises Differenzieren und Integrieren wie erwartet. Erzeugende Funktionen leben davon — die Fibonacci-Erzeugende 1/(1 − x − x²) und der binomische Lehrsatz sind die kleinen Schulbeispiele, und die Technik trägt bis zu Rekursionen, die kein Mensch in geschlossener Form löste. Laurent-Reihen mit negativen Potenzen klassifizieren Singularitäten in der komplexen Ebene; die analytische Fortsetzung dehnt eine lokal durch eine Potenzreihe definierte Funktion auf einen maximalen Bereich aus und macht aus lokalen Ableitungsdaten ein globales Objekt.
Potenzreihen liegen überall dort, wo angewandt gerechnet wird. Wertet ein Taschenrechner sin(0,1) aus, summiert er eine Handvoll Taylor-Glieder und rundet; integriert ein Differenzenverfahren eine Differentialgleichung, arbeitet es mit abgeschnittenen Taylor-Entwicklungen der unbekannten Funktion. Die Störungstheorie der Physik entwickelt physikalische Größen nach einem kleinen Parameter — der Kopplungskonstante einer Quantenfeldtheorie, 1/c² in der post-newtonschen Gravitation, ℏ im klassischen Grenzfall der Quantenmechanik — und liest die Korrekturen Glied für Glied ab. Die automatische Differenzierung moderner ML-Frameworks (PyTorch, JAX) ist im Kern eine Maschine, die Taylor-Koeffizienten von Berechnungsgraphen effizient erzeugt. Die kleine Beobachtung, dass glatte Funktionen aus der Nähe polynomial aussehen, zählt zu den meistgenutzten Tatsachen der angewandten Mathematik.