Potenzgesetze & schwere Ränder

Sehr verschiedene Netzwerke tragen dieselbe Handschrift: das World Wide Web, wissenschaftliche Zitationsgraphen, biologische Netzwerke, das Internet selbst. Albert-László Barabási und Réka Albert wiesen sie 1999 in Emergence of Scaling in Random Networks nach — die Zahl der Verbindungen pro Knoten folgt Potenzgesetzen. Wenige Hubs sammeln ungleich mehr Verbindungen als der Median, und der Median liegt weit unter dem Mittelwert. Wer nach dieser Form sucht, findet sie fast überall. Stadtgrößen (Zipfsches Gesetz). Vermögensverteilungen an ihrem oberen Rand (Pareto, 1896). Erdbebenstärken (Gutenberg-Richter). Worthäufigkeiten in jedem Text natürlicher Sprache (wieder Zipf). Sonneneruptionen. Zitationszahlen. Ausfalldauern im Internet. Für die meisten dieser Größen ist die Glockenkurve das falsche Bild.

Eine Verteilung nach einem Potenzgesetz hat die Form P(x) ∝ x^(−α): Die Wahrscheinlichkeit eines Ausgangs der Größe x fällt polynomial ab. Daraus folgen drei Dinge. Es gibt keine charakteristische Skala — ob man heran- oder herauszoomt, die Verteilung sieht gleich aus. Es gibt schwere Ränder, also weit mehr extreme Ausgänge, als die gaußsche Intuition erwarten lässt. Und es gibt vom Einzelfall dominierte Mittelwerte: Eine einzige seltene Beobachtung kann den Durchschnitt bestimmen, womit der Durchschnitt selbst instabil wird. Statistik, die Normalverteilung unterstellt, versagt in diesem Gelände. Die Finanzkrise von 2008 war zum Teil ein Versagen an schweren Rändern — die gängigen Risikomodelle bepreisten Extremereignisse, als seien die Renditen gaußverteilt. Sie waren es nicht. Ein wichtiger Vorbehalt kommt von Clauset, Shalizi und Newman (2009): Prüft man die vielen in realen Daten behaupteten Potenzgesetz-Verteilungen sauber nach, passen zu den meisten log-normale oder gestreckt-exponentielle Verteilungen besser als reine Potenzgesetze. Die qualitative Aussage über schwere Ränder hält meist; die strenge Potenzgesetz-Aussage meist nicht. Wer genau sein will, spricht deshalb von schweren Rändern und nicht von einem Potenzgesetz. Schwere Ränder entstehen unter anderem durch präferenzielles Anhängen (Barabásis Mechanismus: Neue Knoten hängen sich an bereits beliebte Knoten), durch multiplikatives Wachstum (Aufzinsung erzeugt log-normale Verteilungen) und durch selbstorganisierte Kritikalität (Baks Sandhaufen, übertragen auf Erdbeben, neuronale Lawinen und Marktcrashs).