Polynome sind die wohlerzogene Familie der Mathematik: eine endliche Summe ganzzahliger Potenzen einer Variablen, mit Koeffizienten multipliziert. p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀. Sie lassen sich addieren, multiplizieren, dividieren, differenzieren, integrieren, faktorisieren und auswerten ohne jede analytische Schwierigkeit. Der Haken: nicht jede Funktion ist ein Polynom; das Geschenk: jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall lässt sich gleichmäßig durch eines annähern (Weierstraß, 1885). Seit zweitausend Jahren sind Polynome das Zugpferd der Approximationstheorie — die Sprache, in der die Mathematik Funktionen schreibt, sobald sie mit ihnen tatsächlich rechnen will.
Ein Polynom vom Grad n ist ein Ausdruck p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ mit aₙ ≠ 0. Die Koeffizienten aᵢ stammen üblicherweise aus einem Ring — den ganzen, rationalen, reellen, komplexen Zahlen oder endlichen Körpern. Die Operationen sind elementar: die Addition arbeitet paarweise auf Koeffizienten; die Multiplikation ist Faltung der Koeffizientenfolgen; die Komposition schachtelt ein Polynom in ein anderes. Die Division mit Rest funktioniert wie für ganze Zahlen, indem man durch ein Polynom kleineren oder gleichen Grades teilt. Der Fundamentalsatz der Algebra — von Gauß in seiner Dissertation 1799 bewiesen, dem ersten von vier Beweisen, die er im Lauf seines Lebens geben sollte — sagt: jedes Polynom vom Grad n mit komplexen Koeffizienten hat genau n komplexe Wurzeln (mit Vielfachheit gezählt). Reelle Polynome müssen keine reellen Wurzeln haben (x² + 1 hat keine), doch alle ihre Wurzeln liegen irgendwo in ℂ. Die Auflösbarkeit durch Radikale ist eine feinere Frage: Grad ≤ 4 hat explizite Formeln (Lösungsformel für quadratische Gleichungen; Cardano für die kubische; Ferrari für die quartische); Grad ≥ 5 im Allgemeinen nicht, nach dem Satz von Galois. Polynom-Interpolation (Lagrange, Newton): zu n + 1 Datenpunkten gibt es genau ein Polynom vom Grad ≤ n durch alle. Bernstein-Polynome liefern Bézier-Kurven, das Fundament der Vektorgrafik. Splines — stückweise Polynome mit gesteuerter Stetigkeit an den Nahtstellen — sind das, womit Computergrafik, Schriftrendering und Animation glatte Formen tatsächlich darstellen. Der Satz von Stone-Weierstraß (1937) verallgemeinert die Weierstraß-Approximation: in einer breiten Klasse von Funktionenräumen liegen die Polynome dicht — alles im Raum lässt sich beliebig gut durch Polynome annähern.
Computergrafik (PostScript, PDF, jedes Vektorformat) stellt Kurven als Bézier-Polynome dar; Schriften liegen als polynomiale Konturen vor. Computeralgebra-Systeme (Mathematica, SymPy) behandeln Polynome als Grundobjekte, mit Algorithmen für Faktorisierung, GCD (Buchbergers Verfahren für Gröbner-Basen hebt Euklids Algorithmus auf Polynome in mehreren Variablen) und Nullstellensuche. Reed-Solomon-Codes — in QR-Codes, CDs, DVDs, Satellitenkommunikation und Speichersystemen verbaut — beruhen darauf, Polynome an mehreren Stellen auszuwerten. Die Optimierung: polynomiale Bedingungen definieren semialgebraische Mengen, und ganze Zweige (semidefinite Programmierung, polynomiale Optimierung) operieren über ihnen. Die gitterbasierte Post-Quanten-Kryptographie — von NIST gerade als quantensicherer Ersatz für RSA standardisiert — stützt sich stark auf Polynomarithmetik in endlichen Körpern. Polynome sind die Brücke zwischen Algebra und Analysis, die natürlichen Funktionen, die die Algebra exakt im Griff hat und mit denen die Analysis alles Übrige annähert.