Polynome

Die wohlerzogene Familie — endliche Summen von Potenzen, das Arbeitstier jeder Näherung.

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Der Beitrag

Unter allen Funktionen, mit denen die Mathematik umgeht, sind die Polynome jene, die sie mühelos beherrscht — eine endliche Summe aus Potenzen einer Variablen mit ganzzahligen Exponenten, mehr nicht. Man kann sie addieren, multiplizieren, dividieren, ableiten und integrieren und ihre Nullstellen suchen, alles nach Regeln, denen ein Schulkind folgen kann. Keine andere Klasse von Funktionen ist so restlos handhabbar. Und doch — das ist das stille Wunder — sind sie kein kleiner oder besonderer Winkel des Fachs: Jede stetige Kurve, so wild sie auch sei, lässt sich durch ein Polynom beliebig genau annähern. Seit zweitausend Jahren sind sie die Sprache, nach der die Mathematik greift, sobald sie eine Funktion nicht mehr nur beschreiben, sondern mit ihr rechnen will.

Der Grad eines Polynoms — die höchste in ihm vorkommende Potenz — ist seine aussagekräftigste Zahl, denn er legt fest, wie viele Nullstellen das Polynom besitzt. Das ist der Fundamentalsatz der Algebra, den der junge Gauß 1799 bewies: Ein Polynom vom Grad n hat genau n Nullstellen, sofern man komplexe Zahlen zulässt. Reelle Polynome mögen gar keine reellen Nullstellen haben — x² + 1 berührt die Null nie —, doch tritt man in die komplexe Ebene, warten die fehlenden Wurzeln stets dort, genau n an der Zahl. Die komplexen Zahlen sind, in eben diesem Sinn, der Ort, an dem Polynome vollständig werden. Zu wissen, dass die Wurzeln existieren, heißt allerdings nicht, sie zu finden. Bis zum vierten Grad gibt es Formeln — die vertraute Lösungsformel für quadratische Gleichungen und ihre monströseren Vettern für kubische und quartische —, die die Koeffizienten in die Lösungen zermahlen. Man erwartete natürlich, dass sich das Muster einfach fortsetzt. Es tut es nicht. Évariste Galois, mit zwanzig im Duell gefallen, bewies, dass es vom fünften Grad an keine solche Formel geben kann — nicht, weil noch keine gefunden wäre, sondern weil die Symmetrie zwischen den Wurzeln einer allgemeinen Gleichung eine solche verbietet. Es war eines der ersten Male, dass die Mathematik eine Sache für unmöglich erklärte, statt sie bloß für schwer. Diesen Grenzen steht das Geschenk gegenüber, das Polynome unentbehrlich macht: Weierstraß zeigte, dass sich jede stetige Funktion auf einem Intervall, so zerklüftet sie auch sei, durch ein Polynom beliebig genau treffen lässt. Das unbändige Universum der Funktionen lässt sich, Stück für Stück, stets durch die eine Familie zähmen, die wir exakt handhaben können.

Warum jetztDiese Näherungskraft ist der Grund, weshalb Polynome still unter so viel Technik laufen. Die glatten Kurven jeder Schrift und jeder Vektorgrafik sind aus kurzen Polynombögen zusammengesetzt. Die Reed-Solomon-Codes, die eine zerkratzte CD, einen verschmierten QR-Code oder ein schwaches Signal aus dem Weltall noch korrekt lesbar machen, arbeiten, indem sie die Daten als Koeffizienten eines Polynoms auffassen und dieses an zusätzlichen Stellen abtasten, sodass sich einige verfälschte Werte aus dem Rest wiederherstellen lassen. Die gitterbasierte Kryptographie, die nun standardisiert wird, um Quantencomputern standzuhalten, ist im Kern Arithmetik auf Polynomen. Sie bleiben die Brücke zwischen der Algebra, die sie exakt beherrscht, und der Analysis, die mit ihnen alles Übrige annähert.