Polynome

Endliche Summen von Potenzen, sonst nichts — und dennoch die einzige Funktionenklasse, die sich restlos beherrschen lässt. Als Zugpferd jeder Näherung steckt sie unter fast allem, was gerechnet wird.

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Es gibt eine Klasse von Funktionen, bei der die Mathematik nie ins Stocken gerät: die Polynome — endliche Summen aus Potenzen einer Variablen mit ganzzahligen Exponenten, sonst nichts. Man addiert, multipliziert und dividiert sie, leitet sie ab, integriert sie und sucht ihre Nullstellen, alles nach Regeln, die ein Schulkind befolgen kann; keine andere Funktionenklasse lässt sich derart restlos beherrschen. Das stille Wunder daran: Ein Sonderfall am Rand des Fachs sind sie deswegen nicht. Jede stetige Kurve, und sei sie noch so wild, lässt sich durch ein Polynom beliebig genau annähern. Seit zweitausend Jahren greift die Mathematik darum zu Polynomen, wann immer sie eine Funktion nicht mehr nur beschreiben, sondern mit ihr rechnen will.

Die aufschlussreichste Zahl eines Polynoms ist sein Grad — die höchste Potenz, die in ihm vorkommt —, denn der Grad legt fest, wie viele Nullstellen es besitzt. Das ist der Fundamentalsatz der Algebra, den der junge Gauß 1799 bewies: Ein Polynom vom Grad n hat genau n Nullstellen, sofern man komplexe Zahlen zulässt. Ein reelles Polynom kann ohne jede reelle Nullstelle auskommen — x² + 1 berührt die Null nirgends —, doch im Komplexen warten die fehlenden Wurzeln immer, und zwar genau n an der Zahl; die komplexen Zahlen sind, genau in diesem Sinn, der Ort, an dem Polynome vollständig werden. Dass die Wurzeln existieren, heißt freilich nicht, dass man sie findet. Bis zum Grad vier gibt es Formeln — die vertraute Lösungsformel für quadratische Gleichungen und ihre immer unförmigeren Verwandten für Gleichungen dritten und vierten Grades —, die die Lösungen mechanisch aus den Koeffizienten gewinnen. Dass sich dieses Muster fortsetzt, war die natürliche Erwartung. Es setzt sich nicht fort. Dass es vom fünften Grad an keine solche Formel geben kann, bewies 1824 Niels Henrik Abel; woran das liegt, zeigte Évariste Galois, mit zwanzig im Duell gefallen — nicht daran, dass man bisher keine gefunden hätte, sondern daran, dass die Symmetrie zwischen den Wurzeln der allgemeinen Gleichung eine Formel grundsätzlich ausschließt. Es war eines der ersten Male, dass die Mathematik etwas nicht bloß für schwer, sondern für unmöglich erklärte. Dieser Grenze steht das Geschenk gegenüber, das Polynome unentbehrlich macht: Weierstraß zeigte, dass sich jede stetige Funktion auf einem Intervall — mag sie noch so zerklüftet sein — durch ein Polynom so genau treffen lässt, wie man nur will. Das widerspenstige Universum der Funktionen bleibt zähmbar, Stück für Stück, mit der einen Familie, die wir vollständig im Griff haben.

Warum jetztDiese Näherungskraft erklärt, warum unter so vieler Technik unauffällig Polynome arbeiten. Die geschmeidigen Kurven jeder Schrift und jeder Vektorgrafik sind aus kurzen Polynombögen zusammengesetzt. Die Reed-Solomon-Codes, dank derer eine zerkratzte CD, ein verschmierter QR-Code oder ein schwaches Signal aus der Tiefe des Alls dennoch fehlerfrei gelesen werden, fassen die Daten als Koeffizienten eines Polynoms auf und tasten es an zusätzlichen Stellen ab — ein paar verdorbene Werte lassen sich dann aus den übrigen rekonstruieren. Und die gitterbasierte Kryptographie, die inzwischen als Standard gegen Quantencomputer festgeschrieben ist, ist im Kern Arithmetik mit Polynomen. So bleiben Polynome die Brücke zwischen der Algebra, die sie exakt behandelt, und der Analysis, die mit ihnen alles andere annähert.