Tonhöhe & Frequenz

Zupft man eine Saite und dann eine gleiche Saite von doppelter Länge, klingt die zweite genau eine Oktave tiefer. Die Länge zu halbieren verdoppelt die Frequenz, und das Ohr hört beide als denselben Ton — eine Beziehung, die Pythagoras um 530 v. Chr. gefunden haben soll und die Keimzelle der westlichen Musiktheorie. Entscheidend ist, dass das Ohr Verhältnisse hört, keine Differenzen. 440 Hz und 880 Hz wirken wie ein Ton im Abstand einer Oktave; 880 und 1320, derselbe Abstand in Hertz, wirken wie eine Quinte. Das Ohr arbeitet logarithmisch, und die einfachen ganzzahligen Verhältnisse, die aus dieser Tatsache fallen — 2:1, 3:2, 4:3 —, liegen unter nahezu jeder Tonleiter und jedem Akkord, der je gesungen wurde.

Tonhöhe und Frequenz sind nicht dasselbe. Frequenz ist physikalisch, gemessen in Hertz; Tonhöhe ist, was der Geist daraus macht, und weil die Wahrnehmung logarithmisch ist, entscheidet das Verhältnis zweier Frequenzen, nicht ihr arithmetischer Abstand, über das Intervall, das wir hören. Darum ist Stimmung ein echtes Dilemma und keine gelöste Gleichung. Die Intervalle, die das Ohr am konsonantesten findet — die Quinte 3:2, die große Terz 5:4 —, sind die kleinen ganzzahligen Verhältnisse der reinen Stimmung, doch eine darauf gestimmte Tastatur klingt in einer Tonart herrlich und in allen übrigen schief. Die gleichschwebende Temperatur, seit dem 18. Jahrhundert Standard, teilt die Oktave in zwölf gleiche Stufen, jede ein winziges Stück gegen jene reinen Verhältnisse verstimmt; dafür klingt jede Tonart gleich erträglich, und ein Spieler kann frei zwischen ihnen wandern. Das ist der Handel hinter Bachs Wohltemperiertem Klavier — eine kleine, überall gleiche Unrichtigkeit, eingetauscht gegen die Freiheit aller vierundzwanzig Tonarten. Unter der Mathematik liegt ein Stück Anatomie, das erklärt, warum das alles zutrifft. Die Cochlea, das gewundene Organ des Innenohrs, sortiert eintreffenden Schall nach Frequenz entlang einer Membran, deren Anordnung selbst logarithmisch ist — hohe Töne reizen das eine Ende, tiefe das andere —, sie leistet also im Fleisch etwas, das der Frequenzanalyse nahekommt, die ein Mathematiker auf dem Papier ausführte. Dieselbe Struktur erklärt die Konsonanz: Fallen zwei Töne in denselben Sinnesbereich, überlagern sich ihre Schwingungen und das Ohr registriert Rauheit, während Töne, die weit genug auseinanderliegen oder in einfachen, Obertöne teilenden Verhältnissen stehen, glatt klingen. Die alte Entdeckung, dass Konsonanz in kleinen ganzen Zahlen wohnt, und ihre physikalische Ursache in der Gestalt des Ohrs erweisen sich als eine Entdeckung, von zwei Enden her gesehen.