Noether-Theorem

Erhaltungssätze sind keine bloßen Erfahrungstatsachen: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie gehört eine erhaltene Größe — die Energie zur Zeittranslation, der Impuls zur Verschiebung im Raum.

Als Nächstes empfohlen → Das Standardmodell · PHYS

Der Beitrag

1918 bewies die deutsche Mathematikerin Emmy Noether — als Frau von jeder bezahlten Universitätsstelle ausgeschlossen, in Göttingen unentgeltlich arbeitend — einen Satz, den man das wichtigste Theorem der mathematischen Physik genannt hat. Er besagt: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört ein Erhaltungssatz — und umgekehrt. Dass Energie erhalten bleibt, folgt aus der Zeittranslationsinvarianz; die Naturgesetze sind von einem Augenblick zum nächsten dieselben. Die Impulserhaltung folgt aus der Verschiebbarkeit im Raum, die Drehimpulserhaltung aus der Invarianz gegenüber Drehungen. Die tiefsten Regelmäßigkeiten der Physik erweisen sich als Ausdruck geometrischer Struktur.

Mit Noether verschob sich, was Physiker unter fundamentaler Physik überhaupt verstehen. Was das neunzehnte Jahrhundert als bloße Erfahrungstatsachen hingenommen hatte, ließ sich nun aus Symmetrien der zugrunde liegenden Gleichungen herleiten. Die Brücke dorthin ist das Prinzip der kleinsten Wirkung: Von allen denkbaren Bahnen nimmt ein System diejenige, die eine bestimmte Gesamtgröße — die Wirkung — stationär macht. Noether zeigte, dass immer dann, wenn eine kontinuierliche Schar von Transformationen die Wirkung unangetastet lässt, eine zugehörige Größe entlang der Bewegung konstant bleiben muss, mathematisch zwingend und nicht erfahrungsgemäß. Stellt man die Uhr vor und die Gesetze sehen gleich aus, ist die Energie erhalten; verschiebt man den ganzen Versuchsaufbau zur Seite, der Impuls; dreht man ihn, der Drehimpuls. Die Symmetrie ist die Ursache, der Erhaltungssatz die Folge, das Wirkungsprinzip die Mechanik dazwischen. Verblüffend ist die Reichweite: In der klassischen Mechanik gilt der Satz so gut wie in der Feldtheorie und in der Quantentheorie, und er läuft auch rückwärts — wird eine neue Erhaltungsgröße gefunden, nimmt man sie als Hinweis auf eine Symmetrie, die nur noch zu benennen ist. Grundlegend wurde er für die Eichtheorie, den Rahmen des gesamten Standardmodells der Teilchenphysik, in dem die Kräfte selbst als Folge innerer Symmetrien erscheinen: die elektromagnetische Kraft der U(1), die schwache der SU(2), die starke der SU(3). Der Higgs-Mechanismus, die Existenz der W- und Z-Bosonen, die Quantisierung der elektrischen Ladung — alles das ergibt sich aus Symmetrieargumenten, die auf Noether zurückgehen. Bestätigt sind die Vorhersagen des Standardmodells mit außerordentlicher Genauigkeit, das magnetische Moment des Elektrons auf zwölf Dezimalstellen. Noether selbst veröffentlichte den Satz unter dem Titel Invariante Variationsprobleme und maß ihm kaum Gewicht bei; häufig zitiert wurde er erst Jahrzehnte später, nach der Wende zu den Eichtheorien.

Warum jetztDie theoretische Physik von heute arbeitet überwiegend von der Symmetrie her. Wer eine neue Theorie sucht, fängt in aller Regel damit an, eine Symmetrie zu postulieren, und fragt dann, welche Dynamik sie zulässt. Supersymmetrie, die großen vereinheitlichten Theorien, die Eichgruppen der Stringtheorie — sie alle schreiben Noethers Programm fort. Nicht minder ergiebig ist die Kehrseite, die spontane Symmetriebrechung: Die Gesetze wahren eine Symmetrie, die die Welt um uns herum sichtbar nicht hat. So erklärt sich, wie Teilchen über den Higgs-Mechanismus zu ihrer Masse kommen, und in der Festkörperphysik ebenso, warum es Magnete und Supraleiter gibt und woher Kristalle ihre Steifigkeit nehmen. Dass die Physik die Gestalt hat, die sie hat — lokal, invariant unter allerlei Transformationen, mit erhaltenen Größen —, gilt heute als tiefe Aussage über den geometrischen Charakter der Naturgesetze; und die Brücke zwischen der Mathematik und der Physik schlägt nach wie vor Noethers Satz.

Zur VertiefungDie Maschinerie der Eichtheorien liefern Peskin und Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (1995); freundlicher und gesprächiger steigt Tony Zee in Quantum Field Theory in a Nutshell (2003) ein. Historisch und biographisch führen Auguste Dicks Emmy Noether 1882–1935 und, jüngeren Datums, David Rowes Emmy Noether: Mathematician Extraordinaire (2021) weiter. Und für das symmetriegeleitete Denken der modernen Physik ist Anthony Zees Fearful Symmetry (1986) noch immer die beste populäre Zusammenschau.