Negative Zahlen

Wer Schulden als Zahlen gelten lässt, macht die Subtraktion unbeschränkt: Sie hat von da an immer ein Ergebnis, auch wenn die kleinere Zahl vorn steht.

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In der antiken griechischen Mathematik galten negative Lösungen gewöhnlich nicht als eigenständige Zahlen. Ausgerechnet Diophant, der am entschiedensten algebraisch denkende Mathematiker der griechischen Antike, erklärte negative Lösungen für absurd und strich sie kurzerhand. Dass negative Zahlen vollwertige mathematische Objekte sind, ließ als Erster der indische Mathematiker Brahmagupta gelten — im siebten Jahrhundert n. Chr., in seinem Lehrwerk Brāhmasphuṭasiddhānta, unterlegt mit einer kaufmännischen Deutung: positive Zahlen sind Guthaben, negative sind Schulden. Die Deutung trug, die Rechenregeln gingen auf, und im Lauf des folgenden Jahrtausends fügte sich, widerstrebend genug, auch der Rest der mathematischen Welt. Voll anerkannt waren negative Zahlen in der westeuropäischen Mathematik erst im achtzehnten Jahrhundert — und noch im neunzehnten nannte ein Mathematiker vom Rang eines Augustus De Morgan sie „unmöglich“.

Eine negative Zahl liegt unterhalb der Null; gleichwertig gefasst: Sie ist das additive Inverse einer positiven Zahl, a + (−a) = 0. Nimmt man die Negativen zu den natürlichen Zahlen hinzu, entsteht die Menge der ganzen Zahlen: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Das Rechnen mit negativen Zahlen läuft glatt weiter, sobald man sich auf die Vorzeichenregeln festlegt: Bei plus gegen minus setzt sich das Vorzeichen der betragsgrößeren Zahl durch; positiv mal negativ gibt negativ; und minus mal minus gibt plus. An dieser letzten Regel entzündete sich jahrhundertelang Streit — keine handfeste Deutung macht von sich aus plausibel, wieso zwei Schulden miteinander multipliziert ein Guthaben ergeben sollten. Ihren eigentlichen Grund hat die Regel woanders: Das Distributivgesetz soll weitergelten. Verlangt man a × (b + (−b)) = a × 0 = 0 und zugleich = a × b + a × (−b), bleibt nur a × (−b) = −(a × b); verlangt man dieselbe Algebra für zwei negative Faktoren, bleibt nur (−a) × (−b) = +ab. Anschaulich wurden die Regeln erst als Bewegung auf der Zahlengeraden: Positives wandert nach rechts, Negatives nach links, die Multiplikation streckt — und klappt gegebenenfalls die Richtung um. Der Absolutbetrag |x| misst den Abstand zur Null, ohne aufs Vorzeichen zu sehen. Die Ordnung auf ℤ setzt die von ℕ fort: a < b genau dann, wenn b − a eine positive ganze Zahl ist.

Warum jetztNegative Größen begegnen einem überall, im Alltag wie in der Technik: als Temperatur unter null (die Celsius- wie die Fahrenheit-Skala reicht ins Minus), als Schulden und Nettovermögen, als elektrische Spannung und Polarität der Ladung, als Haushaltsdefizit, als Geschwindigkeit in Gegenrichtung, als Höhe unter dem Meeresspiegel, als Breitengrad südlich des Äquators. Die meisten Zahlformate im Computer — vorzeichenbehaftete Ganzzahlen wie Gleitkommazahlen — sehen eigens ein Vorzeichenbit vor. Das Zweierkomplement, die heute nahezu universelle Darstellung ganzer Zahlen mit Vorzeichen, ist eine geschickte Codierung: Die Addition läuft für Positives und Negatives über dieselbe Logik, ganz ohne Sonderbehandlung. Der Schritt, den die indischen Mathematiker des siebten Jahrhunderts vollzogen — Fehlen und Vorhandensein symmetrisch zu behandeln —, steckt heute unsichtbar in jedem Zahlensystem, das Menschen benutzen.