Negative Zahlen

Schuld als Zahl — der Schritt, der dafür sorgt, dass die Subtraktion immer eine Antwort hat.

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Die Griechen wollten nichts von ihnen wissen. Diophant, der algebraisch gewendetste antike griechische Mathematiker, nannte negative Lösungen absurd und warf sie hinaus. Der indische Mathematiker Brahmagupta war im siebten Jahrhundert n. Chr. der Erste, der in seiner Schrift Brāhmasphuṭasiddhānta negative Zahlen systematisch als legitime mathematische Objekte zuließ. Er gab ihnen eine kaufmännische Deutung: positive Zahlen sind Guthaben, negative Zahlen sind Schulden. Die Deutung trug, die Operationen ergaben Sinn, und im Lauf des nächsten Jahrtausends zog der Rest der mathematischen Welt widerwillig nach. Die volle Anerkennung der negativen Zahlen in der westeuropäischen Mathematik kam erst im achtzehnten Jahrhundert, und selbst dann nannten sie Mathematiker wie Augustus De Morgan im neunzehnten Jahrhundert weiterhin „unmöglich“.

Eine negative Zahl ist eine Zahl kleiner als null; gleichbedeutend, das additive Inverse einer positiven Zahl: a + (−a) = 0. Die Menge der ganzen Zahlen ℤ erweitert die natürlichen Zahlen um die Negativen: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Die Arithmetik mit Negativen setzt sich natürlich fort, sobald man sich auf die Vorzeichenregeln festlegt: positiv plus negativ ergibt diejenige Zahl mit dem größeren Absolutbetrag (in deren Vorzeichen); positiv mal negativ ist negativ; negativ mal negativ ist positiv. Die letzte Regel war jahrhundertelang umstritten — aus keiner physikalischen Deutung leuchtet ohne weiteres ein, warum sich zwei Schulden zu einem Guthaben multiplizieren sollten — und motiviert sich am besten daraus, dass das Distributivgesetz weiter gelten soll. Soll a × (b + (−b)) = a × 0 = 0 sein und zugleich = a × b + a × (−b), ist man gezwungen, a × (−b) = −(a × b) zu setzen; sollen beide Faktoren negativ sein und das Produkt derselben Algebra genügen, ist man gezwungen, (−a) × (−b) = +ab zu setzen. Die geometrische Deutung als Bewegung auf dem Zahlenstrahl — positive nach rechts, negative nach links, die Multiplikation streckt und kippt bei Bedarf — brachte die Regeln endlich zur Anschauung. Der Absolutbetrag |x| misst den Abstand von null, ohne Rücksicht aufs Vorzeichen. Die Ordnung auf ℤ erweitert die auf ℕ: a < b genau dann, wenn b − a eine positive ganze Zahl ist.

Warum jetztNegative Größen sind im Alltag und in der Technik allgegenwärtig: Temperaturen unter null (Celsius und Fahrenheit gehen beide ins Minus), Schulden und Nettovermögen, elektrische Spannung und Ladungspolarität, Haushaltsdefizite, Geschwindigkeit in die Gegenrichtung, Höhen unter dem Meeresspiegel, Breitengrade südlich des Äquators. Die meisten numerischen Formate des Rechners (vorzeichenbehaftete ganze Zahlen, Gleitkommazahlen) reservieren ausdrücklich ein Vorzeichenbit. Das Zweierkomplement — die nahezu universelle Darstellung vorzeichenbehafteter ganzer Zahlen im Rechner — ist eine raffinierte Codierung, die die Addition für positive wie negative Zahlen ohne Zusatzlogik gleich laufen lässt. Der mathematische Schritt, den die indischen Mathematiker des siebten Jahrhunderts taten — Abwesenheit und Anwesenheit symmetrisch zu behandeln —, steckt heute unsichtbar in jedem von Menschen gebrauchten Zahlensystem.