Nash-Gleichgewicht

Im Jahr 1950 reichte John Forbes Nash — einundzwanzig, Doktorand in Princeton — eine 27-seitige Dissertation ein und definierte darin, was heute Nash-Gleichgewicht heißt: eine Strategiekonstellation in einem Spiel, in der kein Spieler sein Ergebnis durch einseitige Strategieänderung verbessern kann. Den Existenzbeweis (jedes endliche Spiel mit gemischten Strategien hat mindestens ein Nash-Gleichgewicht) führte er mit einem Fixpunktargument von Kakutani — technisch unspektakulär, begrifflich umwälzend. Daraus wurde der vereinigende Begriff der Spieltheorie, der Rahmen, in dem sich strategische Interaktion — Oligopolpreise, Wettrüsten, Evolutionsbiologie, Partnerwahl, KI-Alignment — mit denselben Werkzeugen analysieren ließ. Nashs Nobelpreis 1994 und die öffentliche Erzählung seiner Genesung von der Schizophrenie (A Beautiful Mind, 1998/2001) gaben dem Begriff ein Gesicht, wie es nur wenige mathematische Objekte je bekommen.

Ein Spiel ist ein Tripel — eine Menge von Spielern, eine Menge von Strategien, die jedem offenstehen, und eine Auszahlungsfunktion, die Strategiekombinationen auf Ergebnisse abbildet — und ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategieprofil, in dem die Strategie jedes Spielers eine beste Antwort auf die der anderen ist, sodass niemand einseitig abweichen will. Wichtig wird der Begriff, weil er Gleichgewicht — den zentralen Begriff der Angebots- und Nachfrageanalyse — auf Situationen mit strategischer Interaktion und Interdependenz erweitert. Das meistzitierte Beispiel ist das Gefangenendilemma: beide Spieler verraten, obwohl beide durch Kooperation besser dastünden — dieselbe Struktur kehrt im Wettrüsten, in der Klimakooperation, in der Bereitstellung öffentlicher Güter und im Antibiotika-Management wieder. Weitere klassische Fälle sind der Bertrand-Wettbewerb (zwei Firmen setzen Preise; im Gleichgewicht landen beide bei den Grenzkosten und null Gewinn), der Cournot-Wettbewerb (Mengensetzung führt zu einem Ergebnis zwischen Monopol und vollständiger Konkurrenz) und das Hawk-Dove-Modell aus der Evolutionsbiologie, in dem Maynard Smiths evolutionär stabile Strategie ein mutationsstabiles Nash-Gleichgewicht ist. Verfeinert wurde der Begriff mehrfach — das teilspielperfekte Gleichgewicht (Selten) räumt nicht-glaubwürdige Drohungen in sequenziellen Spielen aus, das Bayessche Nash-Gleichgewicht (Harsanyi) verarbeitet unvollständige Information, das korrelierte Gleichgewicht (Aumann) lässt Koordinationssignale zu. Vier Standardeinwände kehren wieder: viele reale Spiele haben mehrere Nash-Gleichgewichte, und die Theorie sagt nicht, welches sich einstellt (zur Auswahl braucht es Fokuspunkte — Schelling 1960 — oder evolutionäre Dynamik); reale Menschen rechnen keine Gleichgewichte aus, und die verhaltenswissenschaftliche Spieltheorie findet systematische Abweichungen; die Annahme gemeinsamen Wissens über Rationalität ist selten erfüllt; und das Gleichgewicht ist eine Vorhersage über Verhalten, keine Empfehlung. Was bleibt: das Nash-Gleichgewicht ist nach wie vor der meistgenutzte Rahmen, um über strategische Interaktion zu denken.