Nash-Gleichgewicht

Kein Spieler gewinnt dadurch, dass er als Einziger von seiner Strategie abweicht: Diese eine Bedingung, 1950 von Nash formuliert, hält die gesamte Spieltheorie zusammen.

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1950 reichte John Forbes Nash — einundzwanzig Jahre alt und Doktorand in Princeton — eine 27-seitige Dissertation ein, in der stand, was heute Nash-Gleichgewicht heißt: eine Konstellation von Strategien, aus der kein Spieler durch einseitiges Abweichen besser herauskommt. Den Existenzbeweis — jedes endliche Spiel mit gemischten Strategien hat mindestens ein solches Gleichgewicht — führte er über ein Fixpunktargument von Kakutani: technisch unauffällig, begrifflich umwälzend. Daraus wurde der vereinheitlichende Begriff der Spieltheorie, ein Rahmen, in dem sich strategische Interaktion — Oligopolpreise, Wettrüsten, Evolutionsbiologie, Partnermärkte, KI-Alignment — mit denselben Werkzeugen behandeln lässt. Der Nobelpreis von 1994 und die öffentliche Erzählung von Nashs Genesung von der Schizophrenie (A Beautiful Mind, 1998/2001) gaben dem Begriff ein Gesicht, wie es nur wenige mathematische Objekte je bekommen.

Ein Spiel besteht aus dreierlei: einer Menge von Spielern, den Strategien, die jedem offenstehen, und einer Auszahlungsfunktion, die jeder Strategiekombination ein Ergebnis zuordnet. Ein Nash-Gleichgewicht ist dann ein Strategieprofil, in dem die Wahl jedes Spielers die beste Antwort auf die Wahl der anderen ist, sodass niemand einen Grund hat, für sich allein abzuweichen. Sein Gewicht bekommt der Begriff daher, dass er das Gleichgewicht der Angebots- und Nachfrageanalyse auf Lagen überträgt, in denen die Beteiligten aufeinander reagieren. Das meistzitierte Beispiel ist das Gefangenendilemma, in dem beide gestehen, obwohl beide mit Schweigen besser fahren würden; dieselbe Struktur steckt im Wettrüsten, in der Klimakooperation, in der Bereitstellung öffentlicher Güter und im Umgang mit Antibiotika. Klassisch sind auch der Bertrand-Wettbewerb — zwei Firmen setzen Preise, im Gleichgewicht landen beide bei den Grenzkosten und bei null Gewinn —, der Cournot-Wettbewerb, dessen Mengensetzung ein Ergebnis zwischen Monopol und vollständiger Konkurrenz ergibt, und das Falke-Taube-Modell der Evolutionsbiologie, in dem Maynard Smiths evolutionär stabile Strategie ein gegen Mutation stabiles Nash-Gleichgewicht ist. Verfeinert wurde der Begriff mehrfach: Das teilspielperfekte Gleichgewicht (Selten) räumt unglaubwürdige Drohungen aus sequenziellen Spielen, das Bayessche Nash-Gleichgewicht (Harsanyi) verarbeitet unvollständige Information, das korrelierte Gleichgewicht (Aumann) lässt Koordinationssignale zu. Vier Einwände kehren regelmäßig wieder. Viele wirkliche Spiele haben mehrere Nash-Gleichgewichte, und welches sich einstellt, sagt die Theorie nicht — dazu braucht es Fokuspunkte (Schelling 1960) oder evolutionäre Dynamik. Menschen rechnen keine Gleichgewichte aus; die verhaltenswissenschaftliche Spieltheorie findet systematische Abweichungen. Die Annahme des gemeinsamen Wissens über Rationalität ist selten erfüllt. Und das Gleichgewicht sagt Verhalten vorher, es empfiehlt nichts. Was all das überlebt: Um über strategische Interaktion nachzudenken, greift man nach wie vor zuerst zum Nash-Gleichgewicht.

Warum jetztWeit über die Ökonomie hinaus ist das Nash-Gleichgewicht die gemeinsame Sprache strategischer Lagen. Das Auktionsdesign — die Frequenzauktionen der FCC, deren simultan aufsteigendes Format Milgrom und Wilson den Nobelpreis 2020 einbrachte, und jede große Werbeauktion, die mit Vickrey-Clarke-Groves- und Zweitpreisverfahren arbeitet — lebt von Verfahren, deren Eigenschaften im Gleichgewicht bestimmt werden; Online-Matchingmärkte für Schulplätze, Nierentausch und die Vergabe von Assistenzarztstellen (Nobelpreis 2012 für Roth) beruhen auf strategiesicheren Mechanismen, bei denen es im Gleichgewicht das Beste ist, die Wahrheit zu sagen. Argumente zum KI-Alignment sind fast immer Gleichgewichtsargumente darüber, wie sich Systeme verhalten, wenn Entwickler, Betreiber, Nutzer und Aufsicht optimal aufeinander reagieren. Und in den Klimaverhandlungen ist der Ambitionsmechanismus des Pariser Abkommens der gezielte Versuch, ein Koordinationsgleichgewicht herzustellen, das das statische Klimaspiel von sich aus nie erreichen würde.