Matrizen

Ein Rechteck aus Zahlen sieht nach Buchhaltung aus. Angewandt auf einen Vektor ist es etwas anderes: eine Vorschrift, die Vektoren transformiert — und deren Multiplikationsregel genau die Hintereinanderausführung abbildet.

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Zweitausend Jahre lang ordnete man Rechnungen in Zahlenrechtecken, ohne dass ihnen je jemand einen Namen gegeben hätte. Schon die chinesischen Neun Kapitel der Rechenkunst (um 100 v. Chr.) stellten lineare Gleichungssysteme in matrixartigen Tableaus dar und lösten sie mit dem Verfahren, das heute Gaußsches Eliminationsverfahren heißt — neunzehn Jahrhunderte vor Gauß. Auch Carl Friedrich Gauß selbst rechnete 1809 so, ohne das Objekt zu taufen. Erst 1858 bekam das Rechteck Namen und Begriff: Der britische Mathematiker Arthur Cayley — Anwalt von Beruf, Mathematiker aus Neigung — veröffentlichte A Memoir on the Theory of Matrices und löste das Zahlenschema damit aus seinem Rechenzusammenhang. Bei ihm wurde es zu einem Ding für sich: mit eigener Algebra, eigener Multiplikationsregel und eigenen Überraschungen.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten. Addiert wird eintragsweise — die Matrizenaddition verlangt dafür gleiche Formate —, und die Skalarmultiplikation multipliziert jeden Eintrag mit derselben Zahl. Cayleys eigentliche Neuerung ist die Matrizenmultiplikation, die Regel, die Matrizen überhaupt erst interessant macht: Das Produkt AB existiert nur, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen, und der Eintrag (AB)ᵢⱼ ist das Skalarprodukt aus der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B. Willkürlich wirkt diese Regel nur, solange man nicht sieht, wofür sie da ist: Die Matrizenmultiplikation bildet genau die Hintereinanderausführung der Transformationen ab, für die die Matrizen stehen. Daraus folgen zwei Überraschungen. Erstens ist die Multiplikation nicht kommutativ — AB und BA stimmen im Allgemeinen nicht überein. Zweitens kann AB verschwinden, obwohl weder A noch B null ist: Matrizen besitzen Nullteiler, der Ring der quadratischen Matrizen ist also kein Körper. Jede quadratische Matrix trägt eine Kennzahl, die Determinante. Sie entscheidet, ob die Matrix invertierbar ist (det ≠ 0), und benennt zugleich den Faktor, um den die zugehörige Transformation Volumina skaliert. Die Inverse A⁻¹ existiert genau dann, wenn die Determinante nicht verschwindet; dann gilt AA⁻¹ = I mit der Einheitsmatrix I. Für besondere Familien von Matrizen — symmetrisch, orthogonal, diagonal, dreieckig, dünnbesetzt — gibt es Algorithmen, die auf die jeweilige Struktur zugeschnitten sind. Die tragende Einsicht aber lautet: Eine Matrix ist eine Vorschrift, die Vektoren transformiert. Das Produkt Av packt den Vektor v und liefert einen neuen — damit ist die Brücke zu den linearen Abbildungen geschlagen, und mit ihr der Zugang zur gesamten linearen Algebra.

Warum jetztDas moderne maschinelle Lernen ist, auf seine Struktur reduziert, Matrizenarithmetik im großen Maßstab: Die Parameter eines Transformers liegen in Matrizen, die im Vorwärtsdurchlauf des Netzes miteinander multipliziert werden; die Backpropagation differenziert durch diese Produkte hindurch; GPUs sind ganz auf schnelle Matrix-Matrix-Produkte hin gebaut. Die Computergrafik schickt jeden Eckpunkt einer 3D-Szene durch eine Kette von 4×4-Transformationsmatrizen. PageRank, der Algorithmus, dem Google seinen Aufstieg verdankt, bestimmt den dominanten Eigenvektor einer gewaltigen Web-Graph-Matrix. Und Tabellenkalkulationen sind nichts anderes als Matrizen mit angehängten Formeln. Das kleine Rechteck, das Cayley 1858 taufte, ist heute die meistgespeicherte und meistmultiplizierte Datenstruktur der Rechengeschichte.