Logik & Quantoren

1879 veröffentlichte Gottlob Frege, ein damals kaum beachteter deutscher Mathematiker, ein schmales Buch mit sperrigem Titel — Begriffsschrift — und schlug darin etwas vor, was beim ersten Hinsehen wie ein Missgriff wirkte. Frege wollte der Logik selbst eine Zeichensprache geben, so genau wie die der Algebra. Die ältere Logik konnte nur ganze Aussagen miteinander verknüpfen, mit und, oder, nicht und wenn — die aussagenlogische Ebene, blind dafür, wovon eine Aussage überhaupt handelt. Freges Zeichensprache griff in den Satz hinein: auf die Gegenstände, von denen er redet, und auf die Eigenschaften und Beziehungen, die er ihnen zuspricht. Seine Diagramme waren typographisch eine Zumutung, verkauft hat sich das Buch so gut wie nicht. Darin steckte aber ein einziger Schritt, der die Mathematik neu begründen sollte: der Quantor. Die zwei kleinen Wörter für alle und es gibt, als formale Operatoren mit eigener Syntax und eigenen Regeln genommen, waren genau das, was den zweitausend Jahren Logik davor gefehlt hatte — Aristoteles' Syllogistik, der Scholastik des Mittelalters, Booles Algebra.

Die moderne Prädikatenlogik erster Stufe kommt mit vier Zutaten aus: Konstanten für bestimmte Gegenstände, Variablen als Platzhalter, Prädikate für Eigenschaften und Relationen und die Quantoren ∀ („für alle“) und ∃ („es gibt“), Allquantor und Existenzquantor. Damit schreibt sich auf, was der älteren Logik verschlossen blieb: jede Primzahl größer als 2 ist ungerade, zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine rationale Zahl, zu jedem ε gibt es ein δ. Quantoren binden Variablen, wie das Integral seine Integrationsvariable bindet, und die Sorgfalt darin, welche Variable an welchen Quantor gebunden ist, entscheidet über den Sinn einer Aussage — die Reihenfolge der geschachtelten Quantoren zumal. Zu jedem Menschen gibt es einen, den er liebt heißt: Liebe fehlt nirgends ganz. Es gibt einen, den jeder Mensch liebt setzt einen einzigen, allseits Geliebten. Dieselben Wörter, getauschte Quantoren, grundverschiedene Behauptungen — und die Umgangssprache verdeckt genau den Unterschied, den Freges Zeichensprache ans Licht holt. Erst diese Genauigkeit erlaubt es, die Mathematik selbst mit voller Strenge auszusprechen und zu beweisen: Axiom, Satz und ganzer Beweis lassen sich so notieren, dass jeder einzelne Schluss maschinell nachprüfbar wird, ohne Berufung darauf, was die Wörter wohl bedeuten sollen. Verallgemeinert haben Freges Rahmen Russell und Whitehead (Principia Mathematica, 1910–13), formalisiert hat ihn Hilbert, eine genaue Semantik gab ihm Tarski in den 1930er Jahren, gekrönt wurde er 1929 vom Gödelschen Vollständigkeitssatz: Die Beweisregeln der ersten Stufe leiten jede logische Folgerung aus jeder Axiomenmenge ab. (Mit den Unvollständigkeitssätzen desselben Autors hat das nichts zu tun; die betreffen einzelne Theorien wie die Arithmetik, nicht die Logik als solche.) Nach oben geht es weiter: Aussagenlogik ohne Quantoren, die erste Stufe mit Quantoren über Individuen, die höhere Stufe mit Quantoren über Prädikate und Mengen. Das Zugpferd bleibt die erste Stufe — ausdrucksstark genug für nahezu die gesamte betriebene Mathematik, gutartig genug für ein vollständiges Beweissystem und die natürliche Sprache axiomatischer Theorien von der Peano-Arithmetik bis zur ZFC-Mengenlehre.