Logarithmen & Exponentialfunktionen

1614 veröffentlichte der schottische Gutsherr John Napier — der die längste Zeit seines Lebens über die Apokalypse und die Weissagungen der Offenbarung des Johannes brütete — ein schmales Buch: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Seine Erfindung, der Logarithmus, war als Arbeitsersparnis für Astronomen gedacht: ein Verfahren, das Multiplizieren auf das Addieren zurückführt, sodass Rechnungen von Wochen in Stunden zu schaffen waren. Es verbreitete sich augenblicklich. Johannes Kepler rechnete seine Planetentafeln mit Logarithmen; Henry Briggs in Oxford stellte sie auf die Basis 10 um und berechnete die ersten Logarithmentafeln, die weite Verbreitung fanden. Der Rechenschieber — zwei logarithmische Skalen, gegeneinander verschoben, und die Multiplikation wird zum Handgriff — wurde kein Jahrzehnt nach Napiers Buch erfunden und blieb das tägliche Rechengerät der Wissenschaftler, bis ihn in den 1970er Jahren der elektronische Taschenrechner verdrängte. In Napiers Tafeln verbarg sich indes eine Zahl, die seinerzeit niemand genau zu benennen wusste: eine Konstante, die später den Namen e ≈ 2,71828… erhielt und sich als eine der tiefsten der ganzen Mathematik herausstellen sollte.

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens: log_b(x) ist der Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um x zu erhalten — log₁₀(1000) = 3, denn 10³ = 1000. Napiers Wunder steckt in der Funktionalgleichung log(ab) = log(a) + log(b): aus Multiplikation wird Addition. Daraus folgen log(a/b) = log(a) − log(b) und log(aⁿ) = n·log(a); das gesamte Rechnen vor dem Taschenrechner war nichts als deren geschickte Anwendung. Die natürliche Exponentialfunktion eˣ und der natürliche Logarithmus ln(x) = log_e(x) sind Umkehrungen voneinander, und e hat eine Eigenschaft von seltener Schönheit: eˣ ist seine eigene Ableitung — die einzige Funktion, bis auf Vielfache, die genau so schnell wächst, wie sie groß ist. Der Zinseszins macht das anschaulich: Ein Euro zu 100 % Jahreszins, stetig verzinst, ist nach einem Jahr e Euro. Exponentielles Wachstum — Bevölkerungen, Viren, Zinseszins, das Mooresche Gesetz — stellt sich immer dann ein, wenn die Änderungsrate der augenblicklichen Größe proportional ist; der exponentielle Zerfall — radioaktive Isotope, der Abbau von Wirkstoffen, die Entladung eines Kondensators, Lernkurven — ist dieselbe Gleichung mit Minuszeichen. Halbwertszeit und Verdopplungszeit sagen dieselbe Konstante auf zwei Arten. Der natürliche Logarithmus durchzieht die Integralrechnung (∫ dx/x = ln|x| + C) und ist das Zugpferd der asymptotischen Analysis. Und die Sinne? Logarithmisch nimmt der Mensch wahr — das Weber-Fechner-Gesetz: Unsere Sinne reagieren auf Verhältnisse, nicht auf Differenzen. Jede Verdopplung der Schallintensität klingt einen Schritt lauter; eben darum ist die Dezibelskala logarithmisch.