Lineare Abbildungen

Streckung, Drehung, Projektion, Scherung: Was eine Matrix in Wahrheit tut, ist immer eines davon. Festgelegt ist sie schon, sobald feststeht, wohin die Basisvektoren gehen.

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Der Beitrag

1872 legte der deutsche Mathematiker Felix Klein — dreiundzwanzig Jahre alt, frisch auf einen Erlanger Lehrstuhl berufen — zu seinem Amtsantritt eine Programmschrift vor, die die Geometrie radikal neu sortierte. Geometrie, so Klein, untersucht, welche Eigenschaften unter welchen Transformationen erhalten bleiben. Euklidisch ist demnach, was Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen übersteht; affin, was unter Abbildungen fortbesteht, die parallele Geraden parallel lassen; projektiv, was selbst beliebige Projektionen überlebt. Erst kommen die Transformationen — Geometrie ist, was sie übrig lassen. Das Erlanger Programm brachte nahezu die gesamte Geometrie des neunzehnten Jahrhunderts in diese Ordnung und rückte die Transformationen selbst ins Zentrum des Fachs — allen voran die linearen.

Eine lineare Abbildung T: V → W ist eine Funktion zwischen Vektorräumen, die mit den Vektorraumoperationen verträglich ist: T(au + bv) = a·T(u) + b·T(v) für beliebige Vektoren u, v und Skalare a, b. Viel verlangt das nicht — nur, dass T Addition und Skalierung zugleich respektiert. Und doch legt schon das die Abbildung überall fest, allein durch ihr Verhalten auf einer Basis: Steht fest, wohin die Basisvektoren gehen, steht alles fest, denn per Linearität ergibt sich jeder andere Vektor als passende Kombination. Genau hier greifen lineare Abbildungen und Matrizen ineinander. Wählt man Basen für V und W, dann fängt eine m×n-Matrix jede lineare Abbildung zwischen beiden vollständig ein — in ihren Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von V. Matrix und Abbildung sind zwei Ansichten derselben Sache; und weil die Verkettung von Abbildungen der Multiplikation von Matrizen entspricht, versteht man hier auch, warum die Multiplikationsregel aussieht, wie sie aussieht. In der Ebene lässt sich das alles besichtigen: Drehung um den Winkel θ, Spiegelung an einer Geraden, Projektion auf eine Achse, Streckung mit je nach Richtung verschiedenen Faktoren, Scherung, bei der eine Achse gegen die andere kippt. Jede dieser Operationen ist eine Matrix, und wer sie kombiniert, kombiniert die Matrizen. Was eine Abbildung leistet, beschreiben zwei Mengen. Der Kern von T sammelt die Vektoren, die auf null fallen — die Richtungen, die T auslöscht; das Bild sammelt alles, was T hervorbringen kann. Der Rangsatz zieht daraus die Bilanz: dim(V) = dim(Kern) + dim(Bild) — beide Stücke zusammen schöpfen V restlos aus, eine der saubersten Bilanzgleichungen der Mathematik.

Warum jetztDie moderne Bildverarbeitung — Weichzeichnen, Schärfen, Drehen, Farbkorrektur — wendet Pixel für Pixel lineare Abbildungen an. 3D-Rendering-Pipelines verketten sie, um von Weltkoordinaten über die Kamera bis zu den Bildschirmpixeln zu gelangen. Die Hauptkomponentenanalyse der Statistik projiziert hochdimensionale Daten linear auf ihre aussagekräftigsten Richtungen. Die Quantenmechanik fasst physikalische Observable als lineare Operatoren auf dem Hilbert-Raum auf — messbar sind genau deren Eigenwerte. Und die Schichten neuronaler Netze sind, von den nichtlinearen Aktivierungen abgesehen, lineare Abbildungen von Merkmalsvektoren; das gesamte Deep Learning ist, sehr frei gesagt, die Kunst, lineare Abbildungen mit einfachen Nichtlinearitäten so zu verketten, dass am Ende beliebige Funktionen lernbar werden.

Zur VertiefungDer Standard ist Strangs Introduction to Linear Algebra (6. Aufl., 2023), zusammen mit seinen MIT-OCW-Vorlesungen die meistgenutzte Quelle des Fachs. Wer die geometrische, von den Transformationen her gedachte Sicht sucht, greift zur modernen Alternative: Axlers Linear Algebra Done Right (2024). Als visuelle Ergänzung hat sich 3Blue1Browns Videoreihe Essence of Linear Algebra bewährt — viele Lernende nennen sie den entscheidenden Anstoß. Für die angewandte Seite, SVD, PCA und Projektionen, bleibt Numerical Linear Algebra von Trefethen und Bau (1997) unerreicht.