Irrationale Zahlen

Es gibt Längen, die kein Verhältnis ganzer Zahlen benennen kann; die Diagonale des Einheitsquadrats ist die einfachste davon. Für die Pythagoreer war das ein Skandal, für die Mathematik der Normalfall.

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Die ganze Natur, davon waren die Pythagoreer überzeugt, gehorcht Verhältnissen ganzer Zahlen. Das war Glaubenssatz und Mathematik in einem. Bis einer aus dem Bund — die Überlieferung nennt Hippasos von Metapont — den Satz des Pythagoras auf das Einheitsquadrat anwandte und dessen Diagonale ausrechnete: √2. Er versuchte, diese Länge als Verhältnis ganzer Zahlen zu schreiben. Es ging nicht. Der Beweis, dass es nicht gehen kann, ist kurz und vernichtend — und der Bund, so die Legende, ertränkte Hippasos im Meer, damit die Entdeckung nicht nach außen drang. Was an der Ertränkung wahr sein mag oder nicht: Die mathematische Tatsache steht und lässt sich nicht zurücknehmen. Nicht jede Länge ist rational. Die Diagonale des Einheitsquadrats ist die einfachste irrationale Zahl — und es gibt überabzählbar viele weitere.

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich als Verhältnis ganzer Zahlen nicht schreiben lässt. Der klassische Beweis, dass √2 irrational ist, geht durch Widerspruch: Angenommen, √2 = p/q in vollständig gekürzter Form, also ggT(p, q) = 1. Quadrieren liefert 2 = p²/q², somit p² = 2q². Dann ist p² gerade, also auch p, also p = 2k mit ganzem k. Einsetzen: (2k)² = 2q², das heißt 4k² = 2q², das heißt q² = 2k² — dann ist q² gerade, also auch q. Beide, p und q, wären gerade, im Widerspruch zur gekürzten Form. Also existiert keine solche Darstellung: √2 ist irrational. Mit demselben Griff zeigt man, dass √n für jedes n irrational ist, das keine Quadratzahl ist. Weitere berühmte Fälle: π — 1761 bewies Lambert die Irrationalität, 1882 bewies Lindemann, dass π sogar transzendent ist, und entschied damit die antike Frage nach der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal: Sie ist unmöglich. e — die Irrationalität bewies Euler 1737. Die Euler-Mascheroni-Konstante γ ≈ 0,5772 — bis heute weiß niemand, ob sie rational ist; eines der besseren ungelösten Probleme der Zahlentheorie. Algebraisch versus transzendent: Eine algebraische Zahl ist Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten — √2 etwa erfüllt x² − 2 = 0 —, eine transzendente Zahl ist es nicht; π und e sind transzendent. Die algebraischen Zahlen sind abzählbar (jedes Polynom hat endlich viele Nullstellen, und Polynome gibt es abzählbar viele), die reellen Zahlen sind überabzählbar — also ist fast jede reelle Zahl transzendent, so notorisch schwer es auch bleibt, die Transzendenz einer bestimmten Zahl nachzuweisen. Streng gefasst werden die Irrationalen durch die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen — über Cauchy-Folgen oder Dedekind-Schnitte: Jede irrationale Zahl ist dann eine bestimmte Äquivalenzklasse rationaler Folgen beziehungsweise ein bestimmter Schnitt durch ℚ.

Warum jetztAn den Irrationalen führt in Geometrie wie Analysis kein Weg vorbei: Bogenlängen von Kurven, Werte trigonometrischer Funktionen, Lösungen von Differentialgleichungen — fast alle sind irrational. Der Rechner ersetzt sie durch rationale Näherungen, in aller Regel im Gleitkommaformat; den Fehler, der dabei entsteht, einzugrenzen, ist das Geschäft der Numerik. Berechenbare reelle Zahlen sind solche, deren Dezimalstellen ein endliches Programm auf Wunsch beliebig weit ausgeben kann — sie sind abzählbar, und darum ist fast jede reelle Zahl nicht berechenbar; ein reines Mächtigkeitsargument. Transzendenzbeweise zählen bis heute zur aktiven Forschungsfront der Zahlentheorie — die Schanuelsche Vermutung würde, sollte sie sich beweisen lassen, viele der offenen Transzendenzfragen auf einen Schlag klären.