Die Pythagoreer glaubten, die ganze Natur werde von Verhältnissen ganzer Zahlen gelenkt. Es war eine religiöse Lehre ebenso wie eine mathematische. Dann wandte einer von ihnen — die Sage nennt Hippasos von Metapont — den Satz des Pythagoras auf das Einheitsquadrat an und rechnete die Länge der Diagonale aus: √2. Er versuchte, √2 als Verhältnis ganzer Zahlen auszudrücken. Er scheiterte. Der Beweis, dass kein solches Verhältnis besteht, ist kurz und vernichtend, und der Kult, so will es die Sage, ertränkte Hippasos im Meer, damit sich die Entdeckung nicht weiter herumspräche. Wie es mit der Wahrheit der Ertränkung stehen mag — die mathematische Tatsache ist real und nicht rückgängig zu machen: nicht jede Länge ist rational. Die Diagonale des Einheitsquadrats ist die einfachste irrationale Zahl, und es gibt überabzählbar viele weitere.
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen schreiben lässt. Der klassische Beweis, dass √2 irrational ist: nimm zum Widerspruch an, √2 = p/q stehe in gekürzter Form (gcd(p, q) = 1). Quadrieren: 2 = p²/q², also p² = 2q². Damit ist p² gerade, also p gerade, also p = 2k für eine ganze Zahl k. Eingesetzt: (2k)² = 2q², also 4k² = 2q², also q² = 2k², also q² gerade, also q gerade — im Widerspruch zur Annahme, p/q sei gekürzt. Eine solche Darstellung gibt es also nicht, und √2 ist irrational. Dieselbe Technik zeigt, dass √n irrational ist, sofern n keine Quadratzahl ist. Andere berühmte Irrationale: π (1761 von Lambert als irrational, 1882 von Lindemann als transzendent bewiesen, womit die antike Frage entschieden war, ob sich der Kreis mit Zirkel und Lineal quadrieren ließe — er ließ es nicht); e (1737 von Euler als irrational bewiesen); die Euler-Mascheroni-Konstante γ ≈ 0,5772 (noch immer ungeklärt, ob rational, eines der besseren ungelösten Probleme der Zahlentheorie). Algebraisch versus transzendent: eine algebraische Zahl ist Wurzel eines ganzzahligen Polynoms (so ist √2 algebraisch, denn x² − 2 = 0); eine transzendente Zahl ist es nicht (π und e). Die algebraischen Zahlen sind abzählbar (jedes Polynom hat endlich viele Wurzeln; es gibt abzählbar viele Polynome); die reellen Zahlen sind überabzählbar; folglich ist fast jede reelle Zahl transzendent, auch wenn die Transzendenz einer konkreten Zahl bekanntlich schwer zu beweisen ist. Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen — Cauchy-Folgen oder Dedekind-Schnitte — ist die moderne Weise, die Irrationalen streng zu fassen: jede irrationale Zahl wird mit einer bestimmten Äquivalenzklasse rationaler Folgen (oder einem bestimmten Schnitt von ℚ) gleichgesetzt.
Irrationale Zahlen sind in jeder Geometrie und jeder Analysis unvermeidlich: die Längen von Kurven, die Werte trigonometrischer Funktionen, die Lösungen von Differentialgleichungen — fast alle davon sind irrational. Rechner nähern sie durch rationale Zahlen (in der Regel im Gleitkomma), und die numerische Analysis hat die Aufgabe, den dabei entstehenden Fehler zu begrenzen. Berechenbare reelle Zahlen sind solche, zu denen ein endliches Programm beliebig viele Dezimalstellen ausgeben kann — sie sind abzählbar, weshalb fast jede reelle Zahl nicht berechenbar ist (Mächtigkeitsargument). Beweise zur Transzendenz sind eine aktive Front der Zahlentheorie; die Schanuelsche Vermutung würde, einmal bewiesen, viele offene Transzendenzfragen mit einem Schlag vereinen.