Gruppen

In der Nacht des 30. Mai 1832 sitzt ein zwanzigjähriger französischer Radikaler an seinem Schreibtisch und schreibt in fliegender Hast einen langen Brief an einen Freund. Évariste Galois soll sich im Morgengrauen duellieren, und er ist sicher, dass er dieses Duell verlieren wird. Was er in dieser Nacht zu Papier bringt, sind die Grundlagen dessen, was wir heute Gruppentheorie nennen: die abstrakte Algebra der Symmetrie. An den Rändern der Blätter kehrt ein Satz immer wieder: je n'ai pas le temps — ich habe keine Zeit. Am Morgen darauf stirbt Galois an einem Bauchschuss. Fünfzehn Jahre bleiben die Aufzeichnungen liegen, bis Joseph Liouville sie liest und ermisst, was sie enthalten: Galois hatte nicht nur einen neuen Zweig der Mathematik erfunden, sondern mit ihm eine Frage entschieden, an der Europa dreihundert Jahre lang gescheitert war — warum es für Gleichungen ab dem fünften Grad keine allgemeine Lösungsformel gibt.

Vier Axiome, mehr verlangt der Begriff nicht. Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung ·, für die gilt: Abgeschlossenheit — a · b liegt für alle a, b ∈ G wieder in G; Assoziativität — (a · b) · c = a · (b · c); es gibt ein neutrales Element e mit e · a = a · e = a; und jedes a hat ein inverses Element a⁻¹ mit a · a⁻¹ = e. Ein kargeres Fundament ist kaum denkbar, und doch trägt es fast alles, denn Beispiele finden sich überall: die ganzen Zahlen mit der Addition — eine abelsche, unendliche Gruppe; die rationalen Zahlen ohne die Null mit der Multiplikation; die Symmetrien eines Quadrats — die Diedergruppe D₄, Ordnung 8; die Permutationen von n Objekten — die symmetrische Gruppe Sₙ, Ordnung n!; die Bewegungen der Ebene; die invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation — die allgemeinen linearen Gruppen; schließlich alle Transformationen, die ein physikalisches System unverändert lassen. Die klassische Einsicht von Galois: Die Symmetrien der Nullstellen eines Polynoms bilden eine Gruppe, und durch Radikale auflösbar ist das Polynom genau dann, wenn seine Galoisgruppe in einem präzisen gruppentheoretischen Sinn auflösbar ist. Die symmetrische Gruppe S₅ ist es nicht — deshalb kann eine allgemeine Lösungsformel für den fünften Grad nicht existieren. Nach innen entfaltet die Theorie ihre eigene Landschaft: Untergruppen, Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen, Homomorphismen, Isomorphismen, einfache Gruppen, auflösbare Gruppen. Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen — abgeschlossen 2004, nach 130 Jahren und zehntausend Seiten gemeinsamer Arbeit — ist der größte Theorembeweis in der Geschichte der Mathematik. Lie-Gruppen — Gruppen, die zugleich glatte Mannigfaltigkeiten sind — erfassen kontinuierliche Symmetrien und sind damit die Muttersprache der Physik: Die Drehungen des dreidimensionalen Raums bilden SO(3), die Lorentz-Transformationen SO(3,1), und die Eichgruppe des Standardmodells lautet SU(3) × SU(2) × U(1).