In der Nacht des 30. Mai 1832 saß ein zwanzigjähriger französischer Radikaler namens Évariste Galois — kurz vor einem Duell, das er sicher zu verlieren glaubte — an seinem Schreibtisch und schrieb fieberhaft einen langen Brief an einen Freund. Darin lagen die Grundlagen dessen, was wir heute Gruppentheorie nennen: die abstrakte Algebra der Symmetrie. Galois starb am Morgen darauf an einem Bauchschuss; er hinterließ Notizen, an deren Rändern in dichter Folge die Worte je n'ai pas le temps — ich habe keine Zeit — standen. Fünfzehn Jahre lang lagen die Notizen unbeachtet. Als Joseph Liouville sie endlich las und begriff, was darin steckte, fand er heraus, dass Galois nicht nur einen neuen Zweig der Mathematik erfunden, sondern damit eine Frage entschieden hatte, an der Europa dreihundert Jahre gescheitert war: warum es keine allgemeine Formel zur Lösung polynomieller Gleichungen ab Grad fünf gibt.
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer binären Verknüpfung ·, die vier Axiome erfüllt: Abgeschlossenheit (a · b ∈ G für alle a, b ∈ G); Assoziativität ((a · b) · c = a · (b · c)); neutrales Element (es gibt e mit e · a = a · e = a); Inverse (jedes a besitzt ein a⁻¹ mit a · a⁻¹ = e). Das Minimum ist karg, die Folgen sind enorm. Beispiele gibt es überall: die ganzen Zahlen unter Addition (eine abelsche, unendliche Gruppe); die von null verschiedenen rationalen Zahlen unter Multiplikation; die Drehungen eines Quadrats (die Diedergruppe D₄, Ordnung 8); die Permutationen von n Objekten (die symmetrische Gruppe Sₙ, Ordnung n!); die starren Bewegungen der Ebene; die invertierbaren Matrizen unter Multiplikation (allgemeine lineare Gruppen); die Transformationen, die ein physikalisches System unverändert lassen. Die klassische Galois-Einsicht lautet: die Symmetrien der Wurzeln eines Polynoms bilden eine Gruppe, und das Polynom ist genau dann durch Radikale auflösbar, wenn seine Galois-Gruppe in einem präzisen gruppentheoretischen Sinn auflösbar ist — und die symmetrische Gruppe S₅ ist nicht auflösbar, daher die Unmöglichkeit einer allgemeinen Quintik-Formel. Die innere Landschaft der Gruppentheorie: Untergruppen, Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen, Homomorphismen, Isomorphismen, einfache Gruppen, auflösbare Gruppen. Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen — 2004 nach 130 Jahren und zehntausend Seiten Gemeinschaftsarbeit abgeschlossen — ist der umfangreichste Theorembeweis der mathematischen Geschichte. Lie-Gruppen — Gruppen, die zugleich glatte Mannigfaltigkeiten sind — fassen kontinuierliche Symmetrien und sind die natürliche Sprache der Physik: die Drehungen im 3D bilden SO(3), die Lorentz-Transformationen SO(3,1), die Eichgruppe des Standardmodells ist SU(3) × SU(2) × U(1).
Die Kristallographie ordnet alle möglichen Kristallstrukturen nach Symmetriegruppen (230 Raumgruppen in drei Dimensionen). Die Teilchenphysik beschreibt Elementarteilchen als Darstellungen von Eichgruppen; das gesamte Standardmodell ist um Symmetriebedingungen herum gebaut. Die Kryptographie — besonders die Elliptische-Kurven-Kryptographie, das Fundament des modernen TLS, von Bitcoin und der meisten sicheren Kommunikation — beruht darauf, dass diskrete Logarithmen in sorgfältig gewählten Gruppen schwer zu berechnen sind. Die Public-Key-Verschlüsselung ist im Kern gruppentheoretisch. Der Zauberwürfel hat eine Gruppe aus etwa 4,3 × 10¹⁹ Zuständen, und das Minimalzüge-Problem („Gottes Zahl“) wurde 2010 entschieden — jede Stellung lässt sich in höchstens 20 Zügen lösen. Die Musiktheorie nutzt die zyklische Gruppe ℤ/12 zur Beschreibung von Transpositionen. Die Gruppentheorie ist die Mathematik der Invarianz, und das Universum scheint Invarianz zu mögen.