Gödels Unvollständigkeitssätze

Im Jahr 1931 veröffentlichte ein 25-jähriger Wiener Logiker namens Kurt Gödel eine Arbeit mit dem Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Sie war neun Seiten lang, technisch makellos und zerstörte das grundlagentheoretische Programm, das David Hilbert und Bertrand Russell jahrzehntelang aufgebaut hatten. Dieses Programm hatte einen Wahlspruch — „Wir müssen wissen, wir werden wissen“ — und eine konkrete Hoffnung: dass sich die gesamte Mathematik auf ein endliches, mechanisches Fundament stellen ließe, dessen Widerspruchsfreiheit ein geduldiger Schreiber im Prinzip nachprüfen könnte. Die Mathematik hatte gehofft, ihre eigene Widerspruchsfreiheit mit formalen Mitteln zu beweisen. Gödel zeigte: kein widerspruchsfreies formales System, das reich genug ist, die Arithmetik auszudrücken, kann seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen — dass die Hoffnung nicht bloß unerfüllt, sondern unerfüllbar war. Der Traum von einer vollständigen, sich selbst rechtfertigenden Mathematik war vorbei.

Gödels Kniff war Selbstbezüglichkeit, rigoros gemacht. Er zeigte, wie sich Aussagen über ein formales System innerhalb des Systems selbst kodieren lassen (Gödel-Nummerierung) — jedem Symbol, jeder Formel und jedem Beweis wird eine eindeutige Zahl zugeordnet, sodass eine Aussage darüber, was das System beweisen kann, zu einer gewöhnlichen Aussage über die Arithmetik wird, die das System dann über sich selbst treffen kann. Dann konstruierte er einen Satz, der im Effekt sagt: „dieser Satz ist in diesem System nicht beweisbar.“ Ist das System widerspruchsfrei, lässt sich der Satz nicht beweisen (sonst wäre er falsch) und nicht widerlegen (sonst wäre er, seinem eigenen Inhalt nach, beweisbar und zugleich nicht). Also wahr, aber unbeweisbar. Das ist nicht die Lügner-Antinomie im formalen Gewand: der Lügner-Satz ist sinnleer, weder wahr noch falsch, während Gödels Satz bestimmt wahr ist — von außen sehen wir, dass er gilt — und das System ihn schlicht nicht erreichen kann. Der erste Unvollständigkeitssatz besagt: jedes hinreichend ausdrucksstarke widerspruchsfreie System enthält solche Sätze. Der zweite besagt: die Widerspruchsfreiheit des Systems selbst gehört zu jenen unbeweisbaren Aussagen — kein System kann also seine eigene Verlässlichkeit verbürgen, und die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik muss vorausgesetzt oder von außen in einem reicheren System bewiesen werden, dessen eigene Widerspruchsfreiheit dann ihrerseits fraglich ist; die Gewissheit weicht bei jedem Zugriff um einen Schritt zurück. Das Ergebnis ist kein Mangel der Mathematik — es ist ein strukturelles Merkmal formaler Systeme, die über sich selbst zu sprechen versuchen. Wenige Jahre später fassten Turing und Church dieselbe Grenze berechnungstheoretisch: es gibt kein allgemeines Verfahren, das entscheidet, was ein System beweisen kann, und das Halteproblem ist die Unvollständigkeit im Arbeitskittel des Ingenieurs. Die Mathematiker betrieben weiter Mathematik; das grundlagentheoretische Programm aber, das absolute Gewissheit anstrebte, war dauerhaft ernüchtert. Hilbert lebte noch zwölf Jahre und akzeptierte nie öffentlich, was geschehen war.