Funktionen

Eine Vorschrift, die jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuordnet — eine Formel braucht es dazu nicht. Und steht die Vorschrift erst, ist gleichgültig, was man ihr vorlegt.

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Über weite Strecken der Geschichte meinte Funktion eine Formel. Newton sprach von Fluenten, Leibniz von Größen, die von einer Veränderlichen abhängen, und in beiden Fällen setzte man voraus, die Abhängigkeit lasse sich hinschreiben — mit den Grundrechenarten, Wurzeln und gelegentlich einem Sinus. 1837 gab Peter Gustav Lejeune Dirichlet dann eine Definition, die diese Voraussetzung stillschweigend fallen ließ: Eine Funktion sei eine Vorschrift, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen zuordnet — eine Formel braucht es dazu nicht. Sein Beispiel war mit Absicht ungeheuerlich: eine Funktion, die 1 liefert, wenn das Argument rational ist, und 0, wenn es irrational ist. Kein Ausdruck, kein Graph, den jemand zeichnen könnte — und doch eine Funktion. Mit diesem Schritt stand die Tür zum größten Teil der modernen Mathematik offen.

Eine Funktion ƒ von einer Menge X, dem Definitionsbereich, in eine Menge Y, die Zielmenge, ist formal eine Menge geordneter Paare (x, y), in der jedes x ∈ X genau einmal auftritt. Die Forderung nach Eindeutigkeit macht den ganzen Gehalt der Definition aus: Zu jedem x gehört ein y. Alles Weitere folgt daraus — die Verkettung (ƒ ∘ g auf x angewandt heißt ƒ(g(x))), die Umkehrfunktion, die ƒ rückgängig macht, sofern es sie gibt, die Injektivität (verschiedene x gehen auf verschiedene y), die Surjektivität (jedes y der Zielmenge wird getroffen) und die Bijektivität, beides zugleich und genau der Fall, in dem eine Umkehrfunktion existiert. Dass Funktionen die Mathematik aufgefressen haben, hat einen schlichten Grund: Jede Abhängigkeit zwischen Größen ist eine Funktion. Der Ort eines Planeten als Funktion der Zeit. Die Wahrscheinlichkeit einer Stichprobe als Funktion des Parameters. Die Ausgabe eines neuronalen Netzes als Funktion der Eingaben. Der Übergang von den Formeln zur Abhängigkeit selbst nahm der Mathematik die Sorge, ob sich die Zuordnung überhaupt aufschreiben lässt. Funktionen höherer Ordnung — solche, die Funktionen entgegennehmen und Funktionen zurückgeben — wurden zur Grundlage des Lambda-Kalküls (Church, 1930er Jahre) und über dieses zur Grundlage jeder funktionalen Programmiersprache und weiter Teile der theoretischen Informatik. Die tiefe Beobachtung dahinter: Hat man die Funktion erst, so ist die Eingabe das Gegebene und die Ausgabe die Folge — eine Trennung, dank derer ein Algorithmus einmal geschrieben und auf alles angewandt werden kann, was hineinpasst.

Warum jetztModerne Programmiersprachen sind um Funktionen herum gebaut: reine Funktionen in Haskell, Funktionen als Werte erster Klasse in JavaScript, Methoden an Objekten, λ-Ausdrücke in Python. Formeln in der Tabellenkalkulation sind Funktionen. REST-APIs sind Funktionen über das Netz. Modelle des maschinellen Lernens sind Funktionen: Ein neuronales Netz mit Milliarden Parametern ist formal eine einzige Abbildung von Eingaben auf Ausgaben — nur eben gelernt statt geschrieben. Was Dirichlet anstieß — die Vorschrift statt der Formel —, erweist sich als die richtige Abstraktionsebene für fast alles, was Menschen heute rechnend bauen.