Fourier-Zerlegung

Im Jahr 1807 stellte Joseph Fourier, der untersuchte, wie sich Wärme durch Metall ausbreitet, eine Behauptung auf, die seinen Prüfern — Lagrange und Laplace unter ihnen — so unwahrscheinlich vorkam, dass sie ihm den Preis verweigerten: jede sich wiederholende Kurve, wie zackig auch immer, lässt sich aus nichts als glatten, aufaddierten Sinuswellen zusammensetzen. Es klang unmöglich. Dass eine Summe sanfter Kurven eine scharfe Ecke oder einen jähen Sprung wiedergeben könne, verstörte die besten Mathematiker der Zeit, und genau festzulegen, wann es gelingt, kostete ein weiteres Jahrhundert Analysis. Fourier irrte im Detail und traf den Kern, und seine Idee erwies sich als eine der nützlichsten der ganzen angewandten Mathematik — heute geht jedes Signal, das wir aufzeichnen, senden oder komprimieren, durch einen ihrer Nachfahren.

Fouriers Idee ist, dass die Welt zwei Gesichter hat. Da ist die Zeitdomäne, in der ein Signal Moment für Moment steigt und fällt, und die Frequenzdomäne, in der dasselbe Signal als feste Rezeptur reiner Töne erscheint — wie viel es von jeder Frequenz enthält. Beide Beschreibungen tragen genau dieselbe Information, und die Fourier-Transformation ist das Wörterbuch, das einen zwischen ihnen hin- und herträgt. Mehr als bloße Buchführung wird das dadurch, dass viele physikalische Systeme — Wärme, Schall, Licht, die quantenmechanische Wellenfunktion — in der Frequenzdomäne weit einfacher werden, weil die Sinuswelle die einzige Form ist, die das Ableiten im Wesentlichen unverändert lässt. Probleme, die in der Zeit verknotet sind, zerfallen, sobald man sie als Frequenzen betrachtet, in unabhängige, leicht lösbare Teile. Eine Rechteckschwingung macht den Kniff greifbar: Man nehme eine Sinuswelle in der Grundtonhöhe, füge ein Drittel der Sinuswelle bei der dreifachen Frequenz hinzu, ein Fünftel bei der fünffachen, und die laufende Summe kantet sich stetig ab — wobei sie nahe jedem Sprung stets um etwa 9 % überschießt, eine hartnäckige Welligkeit namens Gibbssches Phänomen, genau der Sinn, in dem Fouriers glatte Behauptung „falsch“ war. Die Eigenschaft, die das Ganze unentbehrlich machte, kam erst später: der Faltungssatz, der besagt, dass die verworrene Operation des Filterns — das Verschmieren jedes Signalpunkts über seine Nachbarn — zur schlichten Multiplikation wird, sobald man in der Frequenzdomäne ist. Diese eine Tatsache ist der Grund, warum das Schärfen eines Fotos, das Säubern von Audio oder das Lösen einer Differentialgleichung dort so oft am leichtesten fällt — und warum Techniken von der Bildkompression bis zur medizinischen Bildgebung ihre eigentliche Arbeit im Stillen nicht in der Zeit, sondern in der Frequenz verrichten.