Fourier-Zerlegung

Jedes Signal ist ein Akkord aus reinen Tönen — und wer es in seine Frequenzen zerlegt, macht aus verschmiertem Rechnen in der Zeit ein simples Multiplizieren.

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Wärme, die durch einen Metallstab kriecht — daran arbeitete Joseph Fourier, als er der Pariser Akademie 1807 eine Behauptung vorlegte, die seine Gutachter für schlicht unhaltbar hielten. Lagrange und Laplace saßen in der Kommission; gedruckt wurde die Arbeit nicht. Behauptet hatte er: Jede sich wiederholende Kurve, und sei sie noch so zackig, lasse sich aus lauter glatten Sinuswellen aufbauen, man müsse sie nur richtig übereinanderlegen. Dass aus sanften Bögen eine scharfe Ecke werden soll, ein Sprung gar, ging den besten Mathematikern der Zeit gegen jede Anschauung, und bis geklärt war, unter welchen Bedingungen es wirklich gilt, verging noch ein Jahrhundert. Fourier hatte im Detail unrecht und in der Sache recht. Heute läuft kein Signal, das wir aufzeichnen, senden oder komprimieren, an seiner Idee vorbei.

Ein Signal lässt sich auf zwei Weisen ansehen, und beide sagen dasselbe. Im Zeitbereich steigt und fällt es, Augenblick für Augenblick; im Frequenzbereich steht es als Rezept da — so viel von diesem Ton, so viel von jenem. Zwischen beiden Ansichten übersetzt die Fourier-Transformation, und zwar verlustfrei: Es geht nichts verloren und kommt nichts hinzu. Bloße Buchhaltung wäre das noch. Interessant wird es, weil die Physik dieselbe Vorliebe hat. Wärme, Schall, Licht, die Wellenfunktion — sie alle werden im Frequenzbereich handlicher, und der Grund dafür ist bescheiden: Ableiten macht aus einer Sinuswelle wieder eine Sinuswelle. Was in der Zeit ineinander verknotet ist, fällt deshalb, sobald man es als Frequenzen betrachtet, in lauter unabhängige Einzelstücke auseinander, die man der Reihe nach erledigt. Wie das aussieht, zeigt die Rechteckschwingung: Man nehme den Grundton, lege ein Drittel des dreifach so schnellen Sinus darüber, ein Fünftel des fünffachen, und so fort — die Summe kantet sich zusehends ab. Nur an den Sprungstellen bleibt ein Zipfel, der partout nicht weichen will, rund neun Prozent Überschwinger, ganz gleich wie viele Glieder man noch addiert. Das Gibbssche Phänomen; genau hier lag Fouriers Irrtum. Unentbehrlich aber wurde das Verfahren erst durch den Faltungssatz. Filtern heißt in der Zeit: jeden Punkt mit seinen Nachbarn verschmieren, eine mühsame Operation. Im Frequenzbereich heißt es schlicht: multiplizieren. Deshalb schärft man Fotos dort, entrauscht Tonaufnahmen dort, löst Differentialgleichungen dort — und deshalb verrichten Bildkompression und medizinische Bildgebung ihre eigentliche Arbeit unbemerkt nicht in der Zeit, sondern in der Frequenz.

Warum jetztDurchgesetzt hat sich die Idee erst, als sie schnell wurde. Cooley und Tukey veröffentlichten 1965 die schnelle Fourier-Transformation und drückten den Rechenaufwand so weit, dass beinahe über Nacht möglich wurde, was das digitale Zeitalter ausmacht: Mobilfunk, Audio- und Videocodecs, Computertomografie. Wenige Algorithmen haben so viel bewegt. Die Dualität setzt allerdings auch eine Schranke, die an Heisenberg erinnert — scharf in der Zeit und scharf in der Frequenz, beides zugleich geht nicht; aus diesem Widerstreit sind später die Wavelets hervorgegangen, mit denen sich kurze, stoßartige Ereignisse besser fassen lassen. Und das Bild, das über allem steht, jedes Signal ein Akkord aus reinen Tönen, ist jener seltene Fall, in dem die Metapher wörtlich stimmt.

Zur VertiefungFür Ingenieure ist Bracewells The Fourier Transform and Its Applications (1965, mehrere Auflagen) seit Jahrzehnten das Standardwerk: klar, anwendungsnah, unverwüstlich. Wer die Mathematik dahinter sucht, greift zu Stein und Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (2003), dem modernen Einstieg auf Master-Niveau. Wie die FFT als Algorithmus tatsächlich lebt und was Compressed Sensing daraus macht, vermittelt Strangs Introduction to Linear Algebra samt den zugehörigen MIT-Vorlesungen am anschaulichsten. Und den Weg von der Wärmeleitung zum MP3 erzählt Higgins' Fourier Analysis (1998), ohne die Mathematik unterwegs fallen zu lassen.