Im Jahr 1822 erhob der französische Mathematiker Joseph Fourier, während er die Wärmeleitung in Metallstäben studierte, eine Behauptung von solcher Kühnheit, dass die Académie des Sciences sich weigerte, sie zur Veröffentlichung anzunehmen: jede periodische Funktion, wie zackig oder unstetig auch immer, könne als Summe reiner Sinuswellen geschrieben werden. Die Behauptung war in dieser Form technisch falsch, unter den richtigen Voraussetzungen technisch richtig und eine der nützlichsten Ideen der angewandten Mathematik. Jedes Signal, das wir heute aufzeichnen, übertragen, komprimieren oder filtern, wird von einem Nachfahren der Fourierschen Einsicht verarbeitet.
Die Fourier-Zerlegung enthüllt, dass die Welt zwei Naturen hat — eine Zeitdomäne, in der Wellen steigen und fallen, und eine Frequenzdomäne, in der sie als ruhende Bündel reiner Töne erscheinen. Beide sind äquivalente Repräsentationen derselben Information; die Fourier-Transformation rechnet die eine in die andere um. Das Verfahren trägt, weil Sinuswellen die Eigenfunktionen des Differentialoperators sind — weshalb viele physikalische Systeme (Wärme, Schall, Licht, Quantenmechanik) in der Frequenzdomäne entkoppeln, während sie in der Zeitdomäne verkoppelt bleiben. Die Anwendungen sind allgegenwärtig: JPEG-Kompression verwirft hochfrequente Anteile, die dein Auge nicht sieht; MP3 tut dasselbe mit Tönen, die dein Ohr nicht hört; die MRT rekonstruiert Bilder aus Daten der Frequenzdomäne; Kommunikationssysteme verteilen mehrere Signale auf verschiedene Frequenzbänder; die Spracherkennung arbeitet mit Spektrogrammen (Fourier-Transformationen über kurzen Zeitfenstern); selbst das Periodensystem ist eine Art Fourier-Zerlegung der Atomstruktur.
Die Schnelle Fourier-Transformation — Cooley und Tukey, 1965 — gehört zu den wichtigsten Algorithmen, die je ersonnen wurden; ohne sie wäre die Revolution der digitalen Signalverarbeitung im späten zwanzigsten Jahrhundert nicht möglich gewesen. Die moderne Drahtlosübertragung (5G, WLAN), die medizinische Bildgebung, die Audiotechnik, die Analyse finanzieller Zeitreihen und der größte Teil der physikalischen Simulation stützen sich darauf. Der tiefe Gedanke — jedes Signal ist ein Akkord — besitzt die seltene Eigenschaft, zugleich technisch streng und metaphernreich zu sein.