Um 300 v. Chr. stellte in Alexandria — gerade von Alexander dem Großen gegründet und im Begriff, zum geistigen Zentrum der antiken Welt zu werden — ein griechischer Mathematiker namens Euklid ein Lehrbuch zusammen, das er Elemente nannte. Dreizehn Bücher, 465 Sätze, alle durch deduktive Logik aus einer winzigen Basis von fünf Postulaten und fünf Grundsätzen hergeleitet. Das Buch blieb die nächsten 2300 Jahre Standardlehrplan der Geometrie. Nach vielen Maßen sind die Elemente das erfolgreichste Lehrbuch, das je geschrieben wurde. Mehr als seinen Inhalt vererbte Euklid eine Methode: nenne deine Ausgangsannahmen, leite alles Übrige sorgfältig daraus ab, ohne Anschauung und Erfahrung anzurufen. Hier beginnt der axiomatisch-deduktive Stil der Mathematik.
Euklids fünf Postulate: (1) zwischen je zwei Punkten lässt sich eine Gerade ziehen; (2) jede Strecke lässt sich unbegrenzt verlängern; (3) zu jedem Mittelpunkt und Radius lässt sich ein Kreis schlagen; (4) alle rechten Winkel sind einander gleich; (5) das Parallelenpostulat — zu einer Geraden und einem Punkt nicht darauf gibt es genau eine Gerade durch den Punkt, die zur gegebenen parallel ist. Die ersten vier wirken einleuchtend; das fünfte tat es bekanntlich nicht, und zweitausend Jahre lang versuchten Mathematiker, es aus den übrigen abzuleiten. Die Versuche scheiterten, bis im frühen neunzehnten Jahrhundert Lobatschewski und Bolyai (unabhängig voneinander) sowie Riemann (in seinem eigenen Rahmen) zeigten: es gibt widerspruchsfreie Geometrien, in denen das Parallelenpostulat versagt. Die hyperbolische Geometrie (keine oder viele Parallelen) und die sphärische Geometrie (keine Parallelen — alle Großkreise schneiden sich irgendwann) gehören heute zu den zentralen Gegenständen. Zu den Wahrzeichen-Sätzen zählen die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° (gilt nicht in nicht-euklidischen Geometrien), der Satz des Pythagoras, Kriterien der Dreieckskongruenz und -ähnlichkeit (SSS, SAS, WSW), Eigenschaften von Kreisen (Peripheriewinkelsatz, Sehnen-Tangenten-Satz) sowie die Konstruierbarkeit regelmäßiger Vielecke mit Zirkel und Lineal — Gauß zeigte, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Hilberts Axiomatisierung von 1899 (gut zwanzig Axiome statt Euklids zehn) machte den Rahmen vollends streng; Euklid hatte stillschweigend Annahmen über Zwischenlage und Stetigkeit getroffen, die zweitausend Jahre Geometer nicht bemerkt hatten. Die tiefere Beobachtung: die euklidische Geometrie ist das, was die meiste menschliche Raumvorstellung voraussetzt — flache Ebenen, parallele Linien, die sich nicht treffen, Winkel, die sich zu 180° summieren. Die Anschauung stimmt lokal, global aber ist das Universum gekrümmt.
Die meiste Alltagsgeometrie — Architektur, Vermessung, Computergrafik, GPS-Triangulation, technisches Zeichnen — läuft in (näherungsweiser) euklidischer Geometrie. Computer-Aided Design (CAD) ruht auf euklidischen Primitiven. Algorithmen der Computer Vision messen euklidische Abstände und Winkel zwischen Merkmalspunkten. Die nicht-euklidische Alternative zählt überall dort, wo Krümmung ins Gewicht fällt — die Allgemeine Relativitätstheorie in der Nähe eines Schwarzen Lochs, kosmologische Skalen, auf denen die Geometrie des Universums selbst zur Frage steht, Kartenprojektionen, die die Kugeloberfläche in die Ebene zwingen. Die axiomatisch-deduktive Methode, die Euklid in Gang setzte — nenne deine Axiome, beweise deine Sätze —, ist die Vorlage für die gesamte formale Mathematik und, jüngst, für die formale Verifikation von Software.