Euklidische Geometrie
- Angle measures and the triangle 180°noch nicht geprüft
- Parallel lines never meetnoch nicht geprüft
- Polygon sides and area formulasnoch nicht geprüft
Um 300 v. Chr. stellte in Alexandria — eben erst von Alexander dem Großen gegründet und schon auf dem Weg, das geistige Zentrum der antiken Welt zu werden — der griechische Mathematiker Euklid ein Lehrbuch zusammen: die Elemente. Dreizehn Bücher, 465 Sätze, jeder einzelne mit deduktiver Logik aus einem winzigen Fundament gewonnen — fünf Postulaten und fünf Grundsätzen. Als Standardwerk des Geometrieunterrichts hielt sich das Buch die folgenden 2300 Jahre; nach fast jedem Maßstab sind die Elemente das erfolgreichste Lehrbuch, das je geschrieben wurde. Euklids eigentliches Vermächtnis aber ist kein Inhalt, sondern eine Methode: Lege deine Ausgangsannahmen offen und gewinne alles Weitere durch sorgfältiges Schließen daraus — ohne dich je auf Anschauung oder Erfahrung zu berufen. Mit diesem Buch beginnt der axiomatisch-deduktive Stil der Mathematik.
Euklids fünf Postulate: Von jedem Punkt zu jedem Punkt lässt sich eine Strecke ziehen (1); jede Strecke lässt sich beliebig verlängern (2); um jeden Mittelpunkt lässt sich mit jedem Radius ein Kreis schlagen (3); alle rechten Winkel sind einander gleich (4). Und dann (5), das Parallelenpostulat, in Euklids eigener Fassung: Schneidet eine Gerade zwei andere so, dass die innen liegenden Winkel auf einer Seite zusammen weniger als zwei Rechte ergeben, dann treffen sich diese beiden Geraden, hinreichend weit verlängert, auf eben jener Seite. Die ersten vier leuchten unmittelbar ein — das fünfte bekanntlich nicht, und zwei Jahrtausende lang versuchte die Mathematik, es aus den übrigen herzuleiten. Vergebens: Im frühen neunzehnten Jahrhundert zeigten Lobatschewski und Bolyai unabhängig voneinander — und Riemann in seinem eigenen Rahmen —, dass es widerspruchsfreie Geometrien gibt, in denen das Parallelenpostulat nicht gilt. Die hyperbolische Geometrie (unendlich viele Parallelen) und die sphärische (gar keine — Großkreise schneiden einander immer) zählen seither zum Kernbestand des Fachs. Zu den Wahrzeichen der euklidischen Geometrie gehören der Satz, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt — in den nichteuklidischen Geometrien gilt er nicht —, der Satz des Pythagoras, die Kriterien für Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken (SSS, SWS, WSW), die Sätze am Kreis (Peripheriewinkelsatz, Potenz eines Punktes) und die Konstruierbarkeit regelmäßiger Vielecke mit Zirkel und Lineal — das regelmäßige Siebzehneck, zeigte Gauß, gehört dazu. Vollends streng wurde der Aufbau erst mit Hilberts Axiomatisierung von 1899 — gut zwanzig Axiome statt Euklids zehn —, denn Euklid hatte stillschweigend Annahmen über Zwischenlage und Stetigkeit mitgeführt, die zweitausend Jahre lang keinem Geometer aufgefallen waren. Die tiefere Pointe: Die euklidische Geometrie ist die Geometrie, die die menschliche Raumanschauung wie selbstverständlich unterstellt — ebene Flächen, Parallelen, die einander nie begegnen, Winkel, die sich zu 180° summieren. Lokal liegt diese Anschauung richtig; global ist das Universum gekrümmt.