Gleichungen & Variablen

Setzt man einen Buchstaben, wo eine Zahl stand, deckt eine einzige Aussage unendlich viele Fälle ab — und dieselbe Gleichung dient danach der Physik, der Biologie und dem Finanzwesen.

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Um das Jahr 820 verfasste Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi, ein persischer Gelehrter am Haus der Weisheit in Bagdad, ein Rechenbuch, dessen Titel der westlichen Mathematik gleich zwei arabische Wörter vererbte: al-dschabr — das Wiederherstellen: ein abgezogener Term wechselt die Seite der Gleichung — und al-muqabala, das Ausgleichen: Gleiches hebt sich gegen Gleiches weg. Vollendet hat den Gedanken achthundert Jahre später der französische Jurist und Mathematiker François Viète: Er schrieb für die unbekannten Zahlen Buchstaben. Seither kann die Mathematik von Größen reden, ohne sich festzulegen, welche Zahlen gemeint sind.

Eine Gleichung behauptet, dass zwei Terme denselben Wert haben: 3x + 5 = 14, a² + b² = c², F = ma. Eine Variable ist ein Buchstabe, der eine noch unbekannte Zahl vertritt — entweder, weil man sie gleich bestimmen wird, oder weil die Gleichung für jeden Wert gelten soll; im ersten Fall löst man, im zweiten beweist man, und mehr steckt hinter dem Unterschied nicht. Die Kunst des Lösens — welche Werte machen eine Gleichung wahr? — ist Schicht um Schicht gewachsen. Lineare Gleichungen (Grad 1) erledigt eine einzige Äquivalenzumformung. Quadratische Gleichungen (Grad 2) führten auf die allgemeine Lösungsformel — die Mitternachtsformel des Schulunterrichts —, die in irgendeiner Gestalt schon babylonische Schreiber vor 4000 Jahren kannten. Kubische Gleichungen (Grad 3) knackte im Italien des sechzehnten Jahrhunderts Tartaglia; Cardano stahl ihm die Lösung und druckte sie 1545 — eine der unrühmlichsten Episoden der Mathematikgeschichte. Gleichungen vierten Grades bezwang kurz darauf Ferrari, Cardanos Schüler. Am fünften Grad und allem darüber bissen sich dann zwei Jahrhunderte lang alle die Zähne aus — bis Évariste Galois, mit zwanzig im Duell getötet, bewies, dass es eine allgemeine Formel in Radikalen nicht gibt, und für diesen Beweis nebenbei die Gruppentheorie erfand. Unter aller Technik lag ein begrifflicher Gewinn: Variablen machten die Mathematik modular. Eine einzige Aussage steht seither für unendlich viele Einzelfälle, und dieselbe Gleichung dient der Physik, dem Finanzwesen, der Biologie und der Technik — man muss nur neu vereinbaren, wofür die Buchstaben stehen.

Warum jetztHeute steckt die Variable in jeder Programmiersprache — let x = 5 ist Algebra, ausführbar gemacht. SAT-Solver und SMT-Solver suchen maschinell nach Belegungen, die ganze Systeme aus Gleichungen und Ungleichungen erfüllen — von der Chip-Verifikation bis zur Flugplanung. Computeralgebra-Systeme wie Mathematica, SymPy und Maple formen Gleichungen symbolisch um, statt numerisch zu rechnen: die unmittelbaren Erben von al-Chwarizmis al-dschabr. Und der Übergang von der Zahl zur Gleichung — von Wie lautet die Antwort? zu Welche Beziehung legt die Antwort fest? — zählt zu den folgenreichsten Denkwerkzeugen, die Menschen je entwickelt haben.