Gleichungen & Variablen

Ein Buchstabe, wo eine Zahl stand — der Schritt, mit dem eine einzige Aussage unendlich viele Fälle umfasst.

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Um das Jahr 820 schrieb ein persischer Mathematiker, der am Haus der Weisheit in Bagdad arbeitete — Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi — ein Buch, dessen Titel zwei arabische Wörter enthielt, die die westliche Mathematik prägen sollten: al-jabr (Wiederherstellung, die Operation, einen subtrahierten Term auf die andere Seite einer Gleichung zu schaffen) und al-muqabala (Ausgleich, die Operation, gleichartige Terme aufzuheben). Achthundert Jahre später vollendete der französische Jurist und spätere Mathematiker François Viète den Schritt, indem er die unbekannten Zahlen durch Buchstaben ersetzte — und von da an besaß die Mathematik einen Weg, über Größen zu reden, ohne sich festzulegen, welche Zahlen sie waren.

Eine Gleichung ist eine Aussage, dass zwei Ausdrücke gleich sind: 3x + 5 = 14, a² + b² = c², F = ma. Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine Zahl steht, die du noch nicht kennst — mal, weil du gerade dabei bist, sie zu bestimmen, mal, weil die Gleichung für jeden Wert gelten soll; und der Unterschied zwischen Lösen und Beweisen entspricht genau dem, in welchem dieser Fälle du steckst. Die Disziplin des Lösens — das Finden der Werte, die eine Gleichung wahr machen — hat eine geschichtete Geschichte. Lineare Gleichungen (Grad 1) weichen einer einzigen Umstellung. Quadratische Gleichungen (Grad 2) schenkten uns die Lösungsformel, in einer Form schon den babylonischen Schreibern vor 4000 Jahren vertraut. Kubische Gleichungen (Grad 3) wurden im sechzehnten Jahrhundert in Italien von Tartaglia geknackt und 1545 von Cardano gestohlen und veröffentlicht, in einer der unrühmlichsten Episoden der mathematischen Geschichte. Quartische Gleichungen fielen kurz darauf vor Cardanos Schüler Ferrari. Die Quintik (Grad 5) und höher widerstanden zwei Jahrhunderte lang jedem Versuch, bis Évariste Galois — mit zwanzig im Duell getötet — bewies, dass keine allgemeine Formel in Radikalen existiert, und dabei nebenbei die Gruppentheorie erfand. Der tiefere Schritt unter all dieser Technik war begrifflich: Variablen machten die Mathematik modular. Eine einzige Aussage konnte fortan für unendlich viele konkrete Fälle stehen, und dieselbe Gleichung ließ sich auf Physik, Finanzen, Biologie und Technik anwenden, indem man neu deutete, worauf jeder Buchstabe verwies.

Warum jetztVariablen sind heute in jede Programmiersprache eingebaut — let x = 5 ist der algebraische Schritt, operativ gemacht. SAT-Solver und SMT-Solver finden mechanisch Variablenbelegungen, die Systeme aus Gleichungen und Ungleichungen erfüllen, und treiben alles von der Chip-Verifikation bis zur Flugplan-Erstellung. Computeralgebra-Systeme (Mathematica, SymPy, Maple) bearbeiten Gleichungen symbolisch statt numerisch und stehen in direkter Linie zu al-Khwarizmis al-jabr. Der Wandel von der Zahl zur Gleichung — von was ist die Antwort zu welche Beziehung schränkt die Antwort ein — ist eine der folgenreichsten Denktechnologien, die Menschen je entwickelt haben.