Die meisten Richtungen im Raum ändern sich, wenn eine lineare Abbildung auf sie wirkt: eine Drehung schickt sie woanders hin, eine Scherung kippt sie, eine Projektion stürzt sie auf einen Unterraum. Doch zu fast jeder linearen Abbildung gehört eine Handvoll besonderer Richtungen, die das überstehen — Richtungen, die die Abbildung bloß skaliert, ohne zu drehen oder zu spiegeln. Sie heißen Eigenvektoren, und die Streckfaktoren sind die Eigenwerte. Die deutsche Vorsilbe eigen- (eigen, charakteristisch, zugehörig) heftete David Hilbert um 1904 daran. Kennt man die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Abbildung, weiß man fast alles über sie.
Formal ist ein Eigenvektor einer linearen Abbildung T ein vom Nullvektor verschiedener Vektor v mit T(v) = λv für einen Skalar λ — den zugehörigen Eigenwert. Geometrisch streckt T den Vektor v bloß um den Faktor λ (ein negatives λ kehrt die Richtung um; ein komplexes λ bringt im 2D-Reellen eine Drehung mit). Gefunden werden sie über die charakteristische Gleichung det(T − λI) = 0 — ein Polynom, dessen Wurzeln genau die Eigenwerte sind. Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenraum aus Vektoren, die alle um denselben Faktor skalieren. Der Spektralsatz — eines der folgenreichsten Resultate der linearen Algebra — sagt, dass eine reelle symmetrische Matrix eine vollständige orthonormale Basis aus Eigenvektoren mit reellen Eigenwerten besitzt. Anders gesagt: jede symmetrische Matrix lässt sich diagonalisieren — als PDP⁻¹ schreiben, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist und die Spalten von P die Eigenvektoren. In Eigenvektor-Koordinaten ist die Abbildung diagonal — sie wirkt unabhängig auf jede Achse, das einfachstmögliche Verhalten. Verallgemeinerungen umfassen die jordansche Normalform (wenn die volle Diagonalisierung scheitert), die Singulärwertzerlegung (Eigenwerte für nicht-quadratische Matrizen, das Zugpferd der numerischen linearen Algebra) und die Spektralzerlegung in unendlichdimensionalen Hilbert-Räumen (das Fundament der Quantenmechanik). Die tiefe Beobachtung lautet: Eigenwerte sind intrinsisch — sie hängen nicht von der Basis ab, in der die Matrix steht, sondern allein von der Abbildung selbst. Sie sind, was die Abbildung wirklich ist, von den Koordinaten befreit.
Die Hauptkomponentenanalyse — die älteste und nach wie vor meistgenutzte Technik der Dimensionsreduktion — findet die Richtungen größter Varianz in einem Datensatz, indem sie die führenden Eigenvektoren der Kovarianzmatrix bestimmt. PageRank findet die wichtigsten Webseiten als den dominanten Eigenvektor einer Hyperlink-Graph-Matrix. Die Quantenmechanik identifiziert physikalische Observable (Ort, Impuls, Energie, Spin) mit linearen Operatoren, und die Eigenwerte dieser Operatoren sind die Werte, die eine Messung zurückgeben kann. Schwingungsmoden einer Struktur — sei es ein Gebäude unter Erdbebenlast oder eine Gitarrensaite — sind Eigenwerte einer Steifigkeitsmatrix. Markov-Ketten laufen gegen eine stationäre Verteilung, gegeben durch den Eigenvektor zum Eigenwert 1. Die spektrale Graphentheorie untersucht Netzwerke über die Eigenwerte ihrer Adjazenz- oder Laplace-Matrizen.