Differentialgleichungen

Gleichungen, deren Unbekannte Funktionen sind — die Muttersprache jedes veränderlichen Systems in Physik und Biologie.

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Der Beitrag

Als Isaac Newton die Principia Mathematica 1687 veröffentlichte, waren die Gleichungen der Planetenbahnen, die er aufschrieb — F = ma, angewandt auf die Schwerkraft —, in heutiger Sprache Differentialgleichungen: Gleichungen, deren Unbekannte keine Zahlen sind, sondern Funktionen, und die diese Funktionen über ihre Änderungsraten binden. Newton verwendete den Begriff nicht, und seine Lösungswege waren geometrisch und anschaulich. Das achtzehnte Jahrhundert machte aus der Technik ein Handwerk. Euler, die Bernoulli-Familie, Lagrange, Laplace — gemeinsam entwickelten sie Verfahren zur Lösung, Klassifikation und Analyse, die die Differentialgleichungen zur Muttersprache der Physik machten. Um 1800 hatte sich jeder bedeutende Zweig der Naturwissenschaft als System von Differentialgleichungen neu formuliert.

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und eine oder mehrere ihrer Ableitungen vorkommen. Die Unbekannte ist eine Funktion, keine Zahl; die Gleichung legt fest, wie sich die Funktion ändert, und eine Lösung ist jede Funktion, die die Beziehung erfüllt. Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE) beziehen sich auf eine Funktion einer Variablen: dy/dt = f(y, t) ist eine ODE erster Ordnung und legt fest, wie y in der Zeit fortschreitet. Partielle Differentialgleichungen (PDE) ziehen mehrere Variablen und deren partielle Ableitungen ein: ∂u/∂t = α·∂²u/∂x² ist die Wärmeleitungsgleichung und beschreibt, wie sich die Temperatur u(x, t) durch einen Stab ausbreitet. Gleichungen heißen linear, wenn die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen nur als Linearkombination auftreten, sonst nichtlinear. Anfangswertprobleme geben den Funktionswert zu einem Zeitpunkt vor und fragen, wie er sich entwickelt; Randwertprobleme geben Werte an mehreren Stellen vor und fragen, welche Funktion dazu passt. Existenz- und Eindeutigkeitssätze (Picard–Lindelöf, Cauchy–Kowalewskaja) verbürgen unter milden Bedingungen Lösungen. Lösungsmethoden bilden ein weitläufiges Handwerk: Trennung der Veränderlichen, integrierende Faktoren, Laplace-Transformation, Reihenlösungen, spezielle Funktionen, Eigenfunktionsentwicklung — und für nahezu jede Gleichung, die in der Praxis zählt, numerische Verfahren (Runge–Kutta, Finite Differenzen, Finite Elemente). Der tiefere Grund, weshalb Differentialgleichungen die Sprache der Physik sind: die meisten physikalischen Gesetze sind lokal — Kräfte, Felder, Flüsse und Reaktionsraten wirken auf infinitesimalen Umgebungen, und die Ableitung ist genau die Sprache infinitesimaler Umgebungen. Die berühmten DGLn spannen sich quer durch die Wissenschaft: Newtons F = ma, Maxwells Gleichungen des Elektromagnetismus, Schrödingers Gleichung der Quantenmechanik, die Wärmeleitungsgleichung, Navier–Stokes (deren Existenz und Glätte in 3D eines der sieben Millennium-Preis-Probleme ist), die Black–Scholes-Gleichung der Optionsbewertung, die Lotka–Volterra-Räuber-Beute-Gleichungen, das SIR-Modell der Epidemien.

Warum jetztDie numerische Lösung von Differentialgleichungen gehört zu den größten Posten an Rechenarbeit in der Wissenschaft. Klimamodelle sind gekoppelte PDE-Systeme auf Supercomputern. Die Pandemiemodellierung — während COVID der gesamten Öffentlichkeit sichtbar — fährt ODEn aus der SIR-Familie. Die Bewertung von Finanzderivaten löst die Black–Scholes-PDE täglich milliardenfach. Robotik-Regelung und Autopilot-Systeme verfolgen und stabilisieren Systeme, die durch ODEn beschrieben sind. Die Pharmakokinetik von Wirkstoffen modelliert die Wirkstoffkonzentration über die Zeit als ODE. Die Fluidsimulation in der Computergrafik löst Navier–Stokes näherungsweise für visuelle Effekte. Die erfolgreichste Vorhersagetechnologie, die Menschen je gebaut haben — die Physik —, läuft fast vollständig auf Differentialgleichungen, und das Finden, Lösen und Approximieren dieser Gleichungen ist der größte Teil der angewandten Mathematik.

Zur VertiefungBoyce und DiPrimas Elementary Differential Equations (11. Aufl., 2017) ist das Standardlehrbuch des zweiten Studienjahres; Strangs Differential Equations and Linear Algebra ist die konzeptionell stärker vereinheitlichte Alternative. Für partielle Differentialgleichungen bleibt Evans' Partial Differential Equations (2010) der Graduate-Kanon. Für die dynamische-Systeme-Sicht — Phasenporträts, Attraktoren, Chaos — ist Strogatz' Nonlinear Dynamics and Chaos (2014) das beliebteste Buch des Felds. Arnolds Ordinary Differential Equations (1992) liefert die strenge russische Schule.