Differentialgleichungen

Nicht eine Zahl ist gesucht, sondern eine Funktion, bestimmt allein durch ihre Änderungsraten. In dieser Sprache stehen die Gesetze der Physik, und mit ihnen fast alles, was sich in der Biologie über die Zeit verändert.

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Der Beitrag

Die Gleichungen der Planetenbewegung, die Isaac Newton 1687 in der Principia Mathematica niederschrieb — F = ma, auf die Schwerkraft angewandt —, waren in heutiger Sprache Differentialgleichungen: Gleichungen, deren Unbekannte keine Zahlen sind, sondern Funktionen, und die diese Funktionen über ihre Änderungsraten festlegen. Das Wort kannte Newton nicht, und gelöst hat er geometrisch, aus der Anschauung heraus. Was bei ihm Kunstgriff war, machte das achtzehnte Jahrhundert zum Gewerbe: Euler, die Bernoullis, Lagrange, Laplace schufen Verfahren der Lösung, Klassifikation und Analyse — und mit ihnen wurde die Differentialgleichung zur Muttersprache der Physik. Um 1800 hatte sich jeder große Zweig der Naturwissenschaft als System von Differentialgleichungen neu geschrieben.

Eine Differentialgleichung verknüpft eine unbekannte Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen. Gesucht ist also keine Zahl, sondern eine Funktion; die Gleichung schreibt vor, wie sich diese Funktion ändert, und als Lösung zählt jede Funktion, die der Beziehung genügt. Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE) handeln von Funktionen einer einzigen Variablen — dy/dt = f(y, t) ist erster Ordnung und regelt, wie y mit der Zeit fortschreitet. Partielle Differentialgleichungen (PDE) beziehen mehrere Variablen und deren partielle Ableitungen ein: ∂u/∂t = α·∂²u/∂x² ist die Wärmeleitungsgleichung — so breitet sich die Temperatur u(x, t) in einem Stab aus. Treten Funktion und Ableitungen nur als Linearkombination auf, heißt die Gleichung linear, andernfalls nichtlinear. Anfangswertprobleme geben einen Zustand zu einem Zeitpunkt vor und fragen nach dem weiteren Verlauf; Randwertprobleme schreiben Werte an mehreren Stellen vor und fragen, welche Funktion dazwischen passt. Existenz- und Eindeutigkeitssätze — Picard–Lindelöf, Cauchy–Kowalewskaja — sichern unter milden Voraussetzungen zu, dass es Lösungen gibt. Die Lösungsmethoden füllen ein ganzes Handwerk: Trennung der Veränderlichen, integrierende Faktoren, Laplace-Transformation, Reihenansätze, spezielle Funktionen, Eigenfunktionsentwicklungen — und für fast alles, was in der Praxis zählt, numerische Verfahren wie Runge–Kutta, finite Differenzen, finite Elemente. Warum aber sind Differentialgleichungen die Sprache der Physik? Weil die meisten physikalischen Gesetze lokal sind: Kräfte, Felder, Flüsse, Reaktionsraten wirken in infinitesimalen Umgebungen — und für infinitesimale Umgebungen ist die Ableitung genau die richtige Sprache. Entsprechend liest sich die Liste der berühmten Gleichungen wie ein Kanon der Wissenschaft: Newtons F = ma, Maxwells Gleichungen des Elektromagnetismus, Schrödingers Gleichung der Quantenmechanik, die Wärmeleitungsgleichung, Navier–Stokes — Existenz und Glattheit ihrer Lösungen in 3D gehören zu den sieben Millennium-Problemen —, die Black–Scholes-Gleichung der Optionsbewertung, die Lotka–Volterra-Gleichungen für Räuber und Beute, das SIR-Modell der Epidemiologie.

Warum jetztKaum eine Gattung wissenschaftlicher Rechenarbeit ist größer als die numerische Lösung von Differentialgleichungen. Klimamodelle sind gekoppelte PDE-Systeme auf Supercomputern. Die Pandemiemodellierung — während COVID vor aller Augen — rechnet mit gewöhnlichen Differentialgleichungen aus der SIR-Familie. Die Bewertung von Finanzderivaten löst die Black–Scholes-Gleichung milliardenfach am Tag. Regelungstechnik in der Robotik und Autopiloten verfolgen und stabilisieren Systeme, die als gewöhnliche Differentialgleichungen vorliegen. Die Pharmakokinetik modelliert, wie ein Wirkstoffspiegel im Körper mit der Zeit steigt und fällt. Und die Strömungssimulation der Computergrafik löst Navier–Stokes näherungsweise, für visuelle Effekte. Die Physik — die erfolgreichste Vorhersagetechnik, die Menschen je gebaut haben — läuft fast vollständig auf Differentialgleichungen; sie zu finden, zu lösen und zu approximieren macht den größten Teil der angewandten Mathematik aus.

Zur VertiefungDas Standardwerk fürs Grundstudium ist Boyce und DiPrima, Elementary Differential Equations (11. Aufl., 2017); konzeptionell geschlossener ist Strangs Differential Equations and Linear Algebra. Für partielle Differentialgleichungen gilt Evans' Partial Differential Equations (2010) als der Kanon auf Master-Niveau. Die Sicht der dynamischen Systeme — Phasenporträts, Attraktoren, Chaos — vertritt kein Buch beliebter als Strogatz' Nonlinear Dynamics and Chaos (2014). Und Arnolds Ordinary Differential Equations (1992) steht für die strenge russische Schule.