Zählen
- Counting as a bijection capturing cardinalitynoch nicht geprüft
- Unary, base-10, base-60, and place valuenoch nicht geprüft
- Successor function and cardinal vs. ordinalnoch nicht geprüft
- Tally marks as the ancestor of all datanoch nicht geprüft
In den Beinknochen eines Wolfs gekerbte Zählstriche — gefunden im heutigen Tschechien, datiert auf rund 30 000 v. Chr. — sind vermutlich das älteste Zeugnis mathematischer Tätigkeit des Menschen. Jede Kerbe steht für ein Vorkommnis von irgendetwas: Marken und gezählte Dinge in eineindeutiger Zuordnung, Strich für Strich. Das Zählen ist die früheste mathematische Technik und in gewissem Sinn der mathematische Akt schlechthin — die Einsicht, dass Anzahl eine Eigenschaft der Welt ist, die sich symbolisch festhalten lässt, abgelöst von den gezählten Dingen selbst. Fünf Schafe und fünf Finger haben etwas gemeinsam, die Fünfheit, und dieses Etwas hängt weder am Schaf noch am Finger; es zu fassen hat sich die Mathematik seit Euklid vorgenommen.
Formal betrachtet ist das Zählen eine Bijektion zwischen einer endlichen Menge und einem Anfangsstück der natürlichen Zahlen {1, 2, …, n}. Die eigentliche Leistung ist begrifflich: Mächtigkeit — wie groß eine Sammlung ist — bleibt gleich, ob man die Dinge umsortiert, umbenennt oder samt und sonders durch andere in gleicher Anzahl ersetzt; sie ist eine abstrakte Eigenschaft der Sammlung, nicht der Dinge. Um im Großen zählen zu können, erfanden die Kulturen je eigene Zahlensysteme: das unäre der Zählstriche, langsam, aber unmittelbar; die Basis 10, vermutlich vom Fingerzählen, standardisiert in den indisch-arabischen Ziffern; die Basis 20 Mesoamerikas, wohl von Fingern und Zehen zusammen; die Basis 60 Babylons, der wir die Minute zu 60 Sekunden und den Kreis zu 360 Grad verdanken; die Basis 2 der elektronischen Rechner. Eine Erfindung für sich war die Stellenwertschreibweise — erst sie macht aus 23 etwas anderes als 32. Den römischen Ziffern fehlt sie: XI (11) und IX (9) bestehen aus denselben zwei Zeichen, und dass der Wert mit der Reihenfolge kippt, verdankt sich einer eigens angesetzten Subtraktionsregel, nicht einem echten Stellenprinzip. Die Nachfolgerfunktion — der Übergang zur jeweils nächsten Zahl — wurde bei Peano zum Axiom. Fein, aber folgenreich ist die Unterscheidung von Kardinal- und Ordinalzahl: Kardinalzahlen antworten auf wie viele (drei Äpfel), Ordinalzahlen auf an welcher Stelle (der dritte Apfel). Im Endlichen laufen beide gleich; im Unendlichen trennen sie sich — abzählbar unendliche Kardinalzahlen gibt es nur eine (ℵ₀), Ordinalzahlen dagegen immer weiter: ω, ω + 1, ω · 2, ω², …