Bedingte Wahrscheinlichkeit

Trifft eine Information ein, schrumpft das Universum der Möglichkeiten auf den Teil, in dem sie gilt — und die Wahrscheinlichkeiten skalieren neu. Aus diesem Umrechnen entsteht jedes Schließen aus Evidenz.

Als Nächstes empfohlen → Satz von Bayes · MATH · T4

Der Beitrag

1990 beantwortete die Kolumnistin Marilyn vos Savant die Leserfrage zu einer Spielshow: Hinter einer von drei Türen wartet ein Auto, hinter den beiden anderen Ziegen. Der Kandidat wählt eine Tür; der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine der übrigen und zeigt eine Ziege. Wechseln oder bleiben? Vos Savant riet zum Wechseln — es gewinnt das Auto in zwei Dritteln der Fälle. Daraufhin erreichten sie rund zehntausend Briefe, viele davon von promovierten Mathematikern, die ihr den Irrtum nachweisen wollten. Geirrt hatten sich die Briefschreiber. Das Ziegenproblem, im Englischen als Monty-Hall-Problem bekannt, ist die berühmteste Illustration eines allgemeineren Befundes: Sobald neue Information eintrifft, ist unsere Intuition für Wahrscheinlichkeiten unzuverlässig. Das formale Gegenmittel heißt bedingte Wahrscheinlichkeit.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B ist definiert als P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), sofern P(B) > 0: die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, normiert auf die Wahrscheinlichkeit von B. Die Anschauung dahinter: Wer weiß, dass B eingetreten ist, dem schrumpft das Universum vom vollen Ergebnisraum auf den Teil, in dem B gilt — und dort skalieren die Wahrscheinlichkeiten neu, bis sie sich wieder zu eins addieren. Unmittelbar aus der Definition folgt der Multiplikationssatz: P(A ∩ B) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A); gemeinsame Wahrscheinlichkeiten zerfallen damit in bedingte Bausteine. Unabhängigkeit ist der Sonderfall, in dem das Bedingen nichts bewirkt: A und B sind genau dann unabhängig, wenn P(A|B) = P(A). Damit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit der Motor des Schließens aus Evidenz. Der Satz von Bayes — P(H|E) = P(E|H)·P(H) / P(E) — ist nichts als der umgestellte Multiplikationssatz, und doch reicht sein Gehalt weit: Er sagt, wie man die Überzeugung von einer Hypothese fortschreibt, sobald Evidenz eintrifft. Der Basisratenfehler — der hartnäckige Irrtum, beim Deuten eines positiven Tests zu vergessen, wie selten die Krankheit ist — ist der Alltagsname für eine falsch berechnete bedingte Wahrscheinlichkeit. Ein Krebstest mit 99 % Treffsicherheit, angewandt auf eine Bevölkerung, in der einer von 1000 erkrankt ist, liefert positive Ergebnisse, die nur in etwa 9 % der Fälle stimmen — eine Zahl, die Medizinstudenten regelmäßig aus der Fassung bringt, der Anschauung widerspricht und doch nichts weiter ist als die Arithmetik des Bedingens.

Warum jetztEin Gutteil der angewandten KI rechnet mit bedingten Wahrscheinlichkeiten: Spamfilter berechnen P(Spam | beobachtete Wörter), die medizinische Diagnostik P(Krankheit | Testbefund), autonome Fahrzeuge P(Fußgänger | Sensordaten), Sprachmodelle P(nächstes Token | Kontext). Und das Ziegenproblem legt Menschen bis heute herein. Das Bedingen bleibt ein stabiler blinder Fleck unseres Denkens — und der Abstand zwischen intuitivem und korrektem Umgang mit Wahrscheinlichkeiten gehört zu den dauerhaftesten Unterschieden zwischen geschulten und ungeschulten Köpfen.