Im Jahr 1990 veröffentlichte die Kolumnistin Marilyn vos Savant die Antwort auf die Frage eines Lesers zu einer Spielshow: hinter einer von drei Türen steht ein Auto, hinter den anderen Ziegen; du wählst eine Tür, der Moderator (der weiß, wo das Auto steht) öffnet eine andere Tür und zeigt eine Ziege; dann fragt er, ob du wechseln willst. Solltest du wechseln? Vos Savant sagte ja — Wechseln gewinnt das Auto in zwei Dritteln der Fälle. Sie bekam darauf etwa zehntausend Briefe, darunter viele von promovierten Mathematikern, die ihr sagten, sie liege falsch. Sie lag nicht falsch. Das Monty-Hall-Problem ist die berühmteste Illustration einer tieferen Pointe: die menschliche Intuition zur Wahrscheinlichkeit ist unzuverlässig, sobald neue Information eintrifft, und das formale Heilmittel ist der Kalkül der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B ist definiert als P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), sofern P(B) > 0 — die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, normiert an der Wahrscheinlichkeit von B. Die Anschauung: sobald du weißt, dass B eingetreten ist, schrumpft das relevante Universum vom vollen Stichprobenraum auf den Teil zusammen, in dem B gilt, und die Wahrscheinlichkeiten skalieren in diesem Teilraum neu, sodass sie sich zu eins addieren. Aus der Definition fällt unmittelbar die Kettenregel der Wahrscheinlichkeit: P(A ∩ B) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A), womit sich gemeinsame Wahrscheinlichkeiten in bedingte Stücke zerlegen lassen. Unabhängigkeit ist der Sonderfall, in dem das Bedingen nichts ändert: A und B sind unabhängig genau dann, wenn P(A|B) = P(A). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist der Motor evidentiellen Schließens. Der Satz von Bayes — P(H|E) = P(E|H)·P(H) / P(E) — ist nur die umgestellte Kettenregel, doch sein Gehalt geht tief: er sagt dir, wie du den Glauben an eine Hypothese aktualisierst, sobald Evidenz eintrifft. Der Grundratenfehler — der hartnäckige Irrtum, zu vergessen, wie selten eine Erkrankung ist, wenn man einen positiven Test deutet — ist der Alltagsname dafür, P(A|B) falsch zu berechnen. Ein zu 99 % treffsicherer Krebstest, angewandt auf eine Bevölkerung, in der 1 von 1000 Krebs hat, liefert ein positives Resultat, das nur in etwa 9 % der Fälle wirklich zutrifft — eine Tatsache, die Medizinstudenten verstört, der Intuition widerspricht und unmittelbar aus der Arithmetik der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit treibt einen großen Teil der angewandten KI: Spamfilter berechnen P(Spam | beobachtete Wörter), die medizinische Diagnostik P(Erkrankung | Testergebnis), autonome Fahrzeuge P(Fußgänger | Sensorwerte), Sprachmodelle P(nächstes Token | Kontext). Das Monty-Hall-Problem überrumpelt die Menschen bis heute; die bedingte Wahrscheinlichkeit bleibt ein stabiler kognitiver Blindfleck, und der Abstand zwischen intuitivem und korrektem probabilistischen Denken zählt zu den dauerhaften Klüften zwischen geschulten und ungeschulten Köpfen.