Komplexe Zahlen — Zahlen der Form a + b·i mit i² = −1 — tauchten im sechzehnten Jahrhundert als seltsamer algebraischer Trick auf: Cardanos Formel für kubische Gleichungen verlangte mitunter, im Zwischenschritt Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, selbst wenn das Endergebnis reell war. Zwei Jahrhunderte lang sahen die meisten Mathematiker in ihnen eine nützliche Fiktion. Dann, im neunzehnten Jahrhundert, entdeckten Cauchy und Riemann, dass die komplexe Differenzierbarkeit weit starrer ist als ihr reelles Gegenstück: eine im komplexen Sinn einmal differenzierbare Funktion ist von selbst unendlich oft differenzierbar, gleicht ihrer Taylorreihe und ist durch ihre Werte auf einer kleinen Menge eindeutig festgelegt. Die komplexe Analysis — die Lehre von solchen Funktionen — erwies sich als einer der schönsten und folgenreichsten Zweige der Mathematik, mit Anwendungen, die von der Physik über die Technik bis in die reine Zahlentheorie reichen.
Eine komplex-differenzierbare (oder holomorphe) Funktion f: U → ℂ auf einer offenen Menge U ⊂ ℂ erfüllt die Cauchy-Riemannschen Gleichungen: schreibt man f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) mit z = x + i·y, gilt ∂u/∂x = ∂v/∂y und ∂u/∂y = −∂v/∂x. Aus ihnen folgen die Wunder der komplexen Analysis. Holomorphe Funktionen sind unendlich oft differenzierbar: einmal komplex differenzierbar heißt für immer differenzierbar. Holomorphe Funktionen gleichen ihrer Taylorreihe auf der größten Scheibe, auf der sie definiert sind — sie sind analytisch. Cauchys Integralsatz: das Integral einer holomorphen Funktion längs einer geschlossenen Schleife verschwindet. Cauchys Integralformel: der Wert einer holomorphen Funktion in jedem inneren Punkt liegt durch ihre Randwerte fest. Der Residuensatz — ein geschlossenes Schleifenintegral gleicht 2πi mal der Summe der Residuen an den eingeschlossenen Singularitäten — ist die mächtige Technik, reelle bestimmte Integrale durch Konturintegration in der komplexen Ebene auszuwerten. Singularitäten werden klassifiziert: hebbar, Pole (an denen 1/f lokal holomorph ist) und wesentlich (das wildeste Verhalten, von Casorati-Weierstraß gefasst). Laurent-Reihen — Potenzreihen mit negativen Potenzen — stellen Funktionen mit Singularitäten dar. Konforme Abbildungen (holomorph mit nicht verschwindender Ableitung) erhalten Winkel, und der Riemannsche Abbildungssatz sagt: jede einfach zusammenhängende echte Teilmenge von ℂ ist konform äquivalent zur Einheitsscheibe. Die analytische Fortsetzung dehnt eine lokal definierte Funktion auf den größtmöglichen Bereich aus — die Riemannsche Zeta-Funktion ist das kanonische Beispiel, ursprünglich für Re(s) > 1 erklärt, per Fortsetzung auf ganz ℂ außer s = 1 ausgedehnt.
Die Quantenmechanik ist von Grund auf komplex: Wellenfunktionen nehmen Werte in ℂ an, und die relativen Phasen zwischen ihnen tragen physikalischen Gehalt (Interferenzmuster). Die Technik greift überall auf die komplexe Analysis zurück: Laplace- und Fourier-Transformationen schöpfen komplexe Methoden aus, die Analyse elektrischer Schaltungen läuft auf komplexer Impedanz, die Regelungstheorie prüft Stabilität über die Polplatzierung in der komplexen Ebene. Die Strömungsmechanik: die zweidimensionale Potenzialströmung ist exakt komplexe Analysis. Die Zahlentheorie nutzt die komplexe Analysis intensiv: die Riemannsche Vermutung ist eine Aussage über die Nullstellen einer komplex-analytischen Funktion, und das Langlands-Programm hängt tief mit komplex-analytischen Modulformen zusammen. Die konforme Feldtheorie in der Physik — zentral für Stringtheorie und statistische Mechanik in 2D — ruht auf der Geometrie konformer Abbildungen. Die einzigartige Starrheit der komplexen Differenzierbarkeit — eine Eigenschaft, die in keinem anderen Zweig der Analysis ihresgleichen hat — ist das, was die komplexe Analysis so unverhältnismäßig mächtig macht.