Die Bibliothek · MathematikTafel № 170 · Folio I
ILL. № 170
MATH
Plate — Mächtigkeit
·Tafel № 170

Mächtigkeit

Cantor wies nach, dass es mehr reelle als rationale Zahlen gibt: Manche Unendlichkeiten sind größer als andere. Der Beweis passt auf eine Postkarte.
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Facetten
  • Same size means a bijection existsnoch nicht geprüft
  • Rationals and algebraics are countablenoch nicht geprüft
  • The diagonal argument: reals are uncountablenoch nicht geprüft
  • Cantor's theorem and the independent continuum hypothesisnoch nicht geprüft
Der Beitrag

1874 stellte der deutsche Mathematiker Georg Cantor eine Frage, auf die vor ihm niemand Wert gelegt hatte: Gibt es mehr reelle als rationale Zahlen? Unendlich sind beide, also liegt die Antwort nahe: gleich viele — unendlich eben. Cantor wies nach, und zwar ohne jede Hintertür, dass das nicht stimmt. Es gibt mehr reelle. Manche Unendlichkeiten sind größer als andere. Der Beweis — das Diagonalargument — passt auf eine Postkarte; die Zunft brauchte trotzdem eine Generation, um ihm zu verzeihen. Die Zeitgenossen taten Cantors Werk als krankhafte Verirrung ab. Die Generation danach, Hilbert voran, nannte es ein Paradies und gab ihm den Satz mit: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“

Zwei Mengen haben genau dann dieselbe Mächtigkeit, wenn zwischen ihnen eine Bijektion besteht — eine Zuordnung, die jedem Element der einen genau ein Element der anderen gegenüberstellt. Richtig ist diese Definition deshalb, weil sie für endliche und unendliche Mengen gleichermaßen greift: Eine dreielementige Menge hat die Mächtigkeit 3, weil sie sich bijektiv auf {1, 2, 3} abbilden lässt, und die natürlichen Zahlen haben definitionsgemäß die Mächtigkeit ℵ₀ (Aleph-Null). Abzählbar heißen die Mengen, die in Bijektion zu ℕ stehen, überabzählbar die unendlichen, für die es keine solche gibt. Die rationalen Zahlen, Paare ganzer Zahlen und dem Anschein nach zahlreicher als diese, sind abzählbar: Man trage sie in ein Gitter ein und laufe es diagonal ab. Für die algebraischen Zahlen, die Nullstellen ganzzahliger Polynome, gelingt eine Abzählung nach demselben Muster. Die reellen Zahlen dagegen sind überabzählbar. Cantors Diagonalargument führt es vor: Man nehme an, die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ließen sich auflisten, schreibe die Liste samt Dezimalentwicklungen hin und baue dann eine neue Zahl, deren n-te Ziffer von der n-ten Ziffer der n-ten Zeile abweicht — die steht nirgends auf der Liste, und die Annahme fällt. Die Mächtigkeit der reellen Zahlen ist 2^ℵ₀, die Mächtigkeit des Kontinuums. Weiter trägt der Satz von Cantor: Zu jeder Menge X ist die Potenzmenge P(X) von echt größerer Mächtigkeit — eine größte Unendlichkeit gibt es also nicht, und die Reihe ℵ₀ < ℵ₁ < ℵ₂ < … reißt nie ab. Ob zwischen ℵ₀ und 2^ℵ₀ noch eine Unendlichkeit sitzt, fragte Cantor selbst; als Kontinuumshypothese (CH) stand die Frage 1900 an erster Stelle von Hilberts Liste. Gödel zeigte 1940, dass CH mit ZFC verträglich ist, Paul Cohen 1963, dass ihre Verneinung es ebenso ist. Damit ist CH unabhängig von ZFC: Ist ZFC widerspruchsfrei, lässt sich aus diesen Axiomen weder die Hypothese noch ihre Negation beweisen.

Warum jetztCantors Diagonale ist die meistgebrauchte Beweisfigur der Mathematik. Turings Beweis für die Unentscheidbarkeit des Halteproblems ist ein Diagonalargument über Programmen, Gödels Unvollständigkeitssatz eines über der Logik. Aus dem Mächtigkeitsvergleich folgt zudem, dass fast jede reelle Zahl unberechenbar ist: Programme gibt es abzählbar viele, jedes eine endliche Zeichenkette, reelle Zahlen überabzählbar viele — die allermeisten bleiben unaussprechlich, sie existieren, die Theorie kommt ohne sie nicht aus, und doch wird weder Mensch noch Rechner je eine von ihnen vollständig hinschreiben. Die Typentheorie der Informatik rechnet mit Mächtigkeitsschranken. Über die Kontinuumshypothese streiten Mengentheoretiker seither philosophisch weiter; Axiomenkandidaten — Forcing-Axiome, Axiome großer Kardinalzahlen — beziehen dazu Stellung.