Satz von Bayes

1763, zwei Jahre nach dem Tod des Verfassers, ließ ein Freund eine kleine Wahrscheinlichkeitsschrift von Thomas Bayes drucken, einem presbyterianischen Geistlichen aus England; er hielt sie für zu gut, um liegen zu bleiben. Die Rechnung war unspektakulär, die gedankliche Wende radikal: Bayes fasste die Überzeugung selbst als messbare Größe auf, als Verhältnis zwischen der Evidenz und dem, was man ohnehin schon erwartet hatte, und zeigte, wie sich diese Größe mit formaler Schärfe fortschreiben lässt, sobald neue Daten eintreffen. Die erste mathematische Theorie davon, wie man seine Meinung ändert, erschien also postum, lag fünfzig Jahre unbeachtet und ging dann still in die Grundlagen jeder Wissenschaft ein, die aus Daten lernt. Zum Werkzeug wurde sie erst durch Pierre-Simon Laplace, der eine Generation später unabhängig die allgemeine Form der Regel fand und sie sofort arbeiten ließ: an der Masse des Saturn, am Geschlechterverhältnis bei der Geburt. Die bayessche Inferenz, wie wir sie heute nennen, ist ebenso sehr seine Leistung wie die von Bayes.

In der Chancenform liest sich der Satz von Bayes wie eine Rechenanweisung: Die A-posteriori-Chance — was man nach der Evidenz glaubt — ist die A-priori-Chance mal dem Likelihood-Quotienten, also dem Faktor, um den die Evidenz unter der einen Hypothese wahrscheinlicher ist als unter der anderen. Die Algebra dazu hat man an einem Nachmittag beisammen; die Disziplin dazu braucht ein Leben, denn die meisten Denkfehler sind Fehler in der Vorannahme: Überzeugungen, die man hätte nachziehen müssen und nicht nachgezogen hat, oder umgekehrt. Daher rührt auch der Basisratenfehler. Ein Krebstest mit 99 Prozent Treffsicherheit besagt eben nicht, dass ein positives Ergebnis zu 99 Prozent Krebs bedeutet — dafür ist die Krankheit zu selten. Man rechne es durch: Trägt einer von hundert Menschen die Krankheit, erkennt der Test 99 Prozent der echten Fälle und schlägt zusätzlich bei 5 Prozent der Gesunden an, dann kommen in einer Stadt mit 10 000 Einwohnern rund 99 richtige auf etwa 495 falsche Alarme. Wer positiv getestet wird, ist damit nur in etwa einem von sechs Fällen wirklich krank. Die Arithmetik ist unerbittlich, und sie ist genau die Arithmetik, die die Anschauung überspringt. Weil die Regel iterativ ist — die A-posteriori-Verteilung von heute ist die A-priori-Verteilung von morgen —, wird ein Bayesianer nie fertig: Jede Beobachtung rückt die Schätzung ein Stück, und ein Leben aus lauter kleinen, ehrlichen Korrekturen trägt einen weit vom Ausgangspunkt fort. Der Preis dafür steht im Kleingedruckten: Der Schluss ist nur so gut wie die Vorannahme. Wer selbstgewiss und falsch beginnt, justiert zu träge nach, um noch gerettet zu werden — weshalb das Weiten der eigenen Vorannahmen zur Methode selbst gehört und nicht zu ihrem Vorlauf. Der statistische Streit des zwanzigsten Jahrhunderts, Frequentisten gegen Bayesianer, drehte sich im Kern um genau diese Stelle: Dürfen vorgängige Überzeugungen in eine wissenschaftliche Argumentation eingehen? Praktisch haben die Bayesianer gewonnen — zum einen, weil Rechner die Integrale inzwischen bewältigen, zum anderen, weil es genug Fragen gibt, bei denen sich keine weiteren Daten beschaffen lassen und man mit dem auskommen muss, was vorliegt.