Grundrechenarten

Vier Grundrechenarten — addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren —, aus denen sich jede spätere Rechnung zusammensetzt.

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Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren. Vier Operationen, jedem Kind in jeder gebildeten Gesellschaft beigebracht, so vollständig erlernt, dass Erwachsene vergessen, sie seien je schwierig gewesen. Jede Operation steht für einen echten begrifflichen Sprung: die Subtraktion verlängert das Zählen rückwärts; die Multiplikation rafft wiederholte Addition zusammen; die Division kehrt die Multiplikation um und wird unsauber, sobald die Antwort keine ganze Zahl mehr ist. Die Babylonier hatten schon um 1800 v. Chr. Multiplikationstabellen auf Tontafeln. Die Ägypter multiplizierten durch Verdoppeln und Aufaddieren. Die Inder erfanden die Stellenwert-Algorithmen — schriftliche Multiplikation, schriftliche Division —, die ein gebildeter Mensch noch heute mit Papier ausführen kann. Die vier Grundrechenarten sind Arithmetik; alles Übrige in der Mathematik baut auf ihnen auf.

Die Addition setzt Zählungen zusammen: 3 + 5 = 8. Sie ist kommutativ (a + b = b + a), assoziativ ((a + b) + c = a + (b + c)) und hat das neutrale Element 0. Die Subtraktion ist die Umkehrung: a − b = c heißt a = b + c. Subtrahieren ist weder kommutativ noch assoziativ. Die Multiplikation ist wiederholte Addition: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Sie ist kommutativ, assoziativ, hat das neutrale Element 1 und verteilt sich über die Addition: a × (b + c) = a × b + a × c — das Distributivgesetz, die Brücke zwischen Addition und Multiplikation, auf der die ganze nachfolgende Algebra ruht. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation: a ÷ b = c heißt a = b × c. Die Division durch null ist nicht definiert (kein c löst die Gleichung, sobald b = 0 und a ≠ 0). Die Punkt-vor-Strich-Regel — Klammern, Potenzen, Multiplikation und Division (von links nach rechts), Addition und Subtraktion (von links nach rechts), im Englischen oft als PEMDAS abgekürzt — ist eine Notationsabsprache gegen Mehrdeutigkeit. Algorithmen für die vier Grundrechenarten gibt es in vielen Spielarten: die Standardverfahren des schriftlichen Multiplizierens und Dividierens sind schnell und lernbar; das Abakus-gestützte Kopfrechnen hält sich in weiten Teilen Ostasiens; Karatsuba, Schönhage-Strassen und Harvey-van der Hoeven sind subquadratische Algorithmen, mit denen Großzahlbibliotheken Zahlen mit Millionen von Ziffern multiplizieren.

Warum jetztDie meisten Erwachsenen lagern Arithmetik an Taschenrechner, Smartphones oder Tabellenkalkulationen aus, und das elementare Kopfrechnen verkümmert zusehends. Darunter aber tragen die vier Grundrechenarten jede numerische Berechnung in jedem elektronischen Gerät auf dem Planeten, ausgeführt milliardenfach pro Sekunde pro CPU-Kern. Die Gleitkomma-Arithmetik — der Standard für den größten Teil ingenieur- und naturwissenschaftlicher Arbeit — ist eine präzise Näherung der vier Operationen auf (den meisten) reellen Zahlen, mit klar geregeltem Rundungsfehler. Die Großzahl-Arithmetik in Bibliotheken wie GMP trägt kryptographische Rechnungen auf ganzen Zahlen mit tausenden Ziffern. Modulararithmetik, Polynomarithmetik, Matrixarithmetik — jede spätere Arithmetik — ruht auf denselben vier Operationen, angewandt auf reichere Objekte.