Grundrechenarten

Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren: vier Handgriffe, aus denen sich jede spätere Rechnung zusammensetzt, bis hinunter zu den Milliarden Operationen, die ein Prozessorkern in der Sekunde ausführt.

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Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren. Wer diese vier Handgriffe als Kind gelernt hat — und in jeder Gesellschaft mit Schulbildung lernt sie jedes Kind —, vergisst als Erwachsener, dass sie je Mühe gemacht haben. Dabei steckt in jedem der vier ein echter begrifflicher Sprung: Subtrahieren heißt rückwärts zählen; Multiplizieren fasst wiederholtes Addieren zu einem einzigen Schritt zusammen; Dividieren kehrt das Multiplizieren um — und wird unbequem, sobald kein ganzzahliges Ergebnis herauskommt. Schon um 1800 v. Chr. lagen in Babylon Multiplikationstabellen auf Tontafeln. Die Ägypter multiplizierten durch Verdoppeln und Zusammenzählen. Aus Indien stammen die Stellenwertverfahren — schriftliches Multiplizieren, schriftliches Dividieren —, die jeder, der sie in der Schule gelernt hat, bis heute auf Papier ausführen kann. Die vier Grundrechenarten sind die Arithmetik; alles Weitere in der Mathematik ist auf ihnen errichtet.

Die Addition legt Anzahlen zusammen: 3 + 5 = 8. Sie ist kommutativ (a + b = b + a), assoziativ ((a + b) + c = a + (b + c)), ihr neutrales Element ist 0. Die Subtraktion macht sie rückgängig: a − b = c bedeutet a = b + c — kommutativ oder assoziativ ist sie hingegen nicht. Die Multiplikation ist wiederholte Addition: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Auch sie ist kommutativ und assoziativ, hat das neutrale Element 1 und ist distributiv über der Addition: a × (b + c) = a × b + a × c — das Distributivgesetz, die Brücke zwischen beiden Operationen, auf der die gesamte spätere Algebra ruht. Die Division schließlich kehrt die Multiplikation um: a ÷ b = c bedeutet a = b × c. Die Division durch null bleibt undefiniert — für b = 0 und a ≠ 0 erfüllt kein c die Gleichung. Damit Ausdrücke eindeutig bleiben, gilt eine Vorrangregel: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Multiplikation und Division von links nach rechts, zuletzt Addition und Subtraktion von links nach rechts — im englischen Sprachraum als PEMDAS memoriert, hierzulande als Punkt vor Strich; eine reine Notationsabsprache. Rechenverfahren — Algorithmen — gibt es für alle vier in vielen Spielarten: das schriftliche Multiplizieren und Dividieren der Schule ist schnell und für jeden erlernbar; in weiten Teilen Ostasiens lebt das Kopfrechnen am Abakus fort; und Karatsuba sowie Schönhage-Strassen heißen die subquadratischen Verfahren, mit denen Langzahlbibliotheken Zahlen von Millionen Ziffern Länge multiplizieren; Harvey-van der Hoeven erreicht zwar das theoretische Optimum, aber erst bei Zahlen, wie sie in der Praxis nie vorkommen.

Warum jetztRechnen erledigen die meisten Erwachsenen längst mit Taschenrechner, Smartphone oder Tabellenkalkulation; fürs Kopfrechnen bleibt im Alltag weit weniger Übung als noch vor einer Generation. Darunter aber laufen die vier Grundrechenarten ungerührt weiter: Sie tragen jede numerische Berechnung in jedem elektronischen Gerät der Welt, ausgeführt milliardenfach in der Sekunde, auf jedem einzelnen Prozessorkern. Die Gleitkommaarithmetik — Standard fast der gesamten Technik und Naturwissenschaft — ist eine präzise gefasste Näherung der vier Operationen auf (den meisten) reellen Zahlen, mit sauber geregeltem Rundungsfehler. Die Langzahlarithmetik in Bibliotheken wie GMP stemmt die Kryptographie mit ihren ganzen Zahlen von Tausenden Ziffern. Und modulare Arithmetik, Polynomarithmetik, Matrizenrechnung — jede spätere Form des Rechnens — besteht aus denselben vier Handgriffen, angewandt auf reichere Objekte.