Die Bibliothek · PhysikTafel № 269 · Folio II
ILL. № 269
PHYS
Plate — Drehimpuls
·Tafel № 269

Drehimpuls

Drehimpuls — was ein Kreisel, ein Planet und ein Quantenteilchen alle haben, und was bleibt, wenn kein Drehmoment wirkt.
Als Nächstes empfohlen → Planetenentstehung & die Schneegrenze · PHYS
Facetten
  • L = r × p and L = I·ωnoch nicht geprüft
  • Conserved when no external torque actsnoch nicht geprüft
  • Gyroscopic precession perpendicular to spin and torquenoch nicht geprüft
  • Quantized orbital and half-integer spinnoch nicht geprüft
Der Beitrag

Eine Eiskunstläuferin, die die Arme anzieht, wird schneller. Ein Kreisel widersetzt sich auf rätselhafte Weise dem Umkippen. Ein Neutronenstern — der kollabierte Rest eines massereichen Sternkerns — dreht sich tausendfach pro Sekunde. Hinter allen drei Phänomenen steckt ein einziges Prinzip: die Drehimpulserhaltung, das rotatorische Gegenstück zur Impulserhaltung, gültig, solange kein äußeres Drehmoment wirkt. Das Prinzip ist zutiefst geometrisch — es folgt aus der Rotationssymmetrie der Naturgesetze — und es wirkt vom Spin eines Elektrons (dem kleinsten dauerhaften Drehimpuls, den wir kennen) bis zur Rotation von Galaxien.

Der Drehimpuls um eine gewählte Achse ist 𝐋 = 𝐫 × 𝐩 — das Kreuzprodukt aus Ortsvektor (von der Achse zum Körper) und Linearimpuls. Für einen starren Körper, der mit Winkelgeschwindigkeit 𝛚 rotiert, gilt 𝐋 = I·𝛚, wobei I das Trägheitsmoment ist — ein Tensor, der die Massenverteilung um die Achse beschreibt. Erhaltung: ohne äußeres Drehmoment bleibt 𝐋 konstant. Das Beschleunigen der Eiskunstläuferin: Arme an → kleineres I → größeres ω, bei erhaltenem L. Das Drehmoment selbst ist die zeitliche Änderung des Drehimpulses (𝝉 = d𝐋/dt) — das rotatorische Gegenstück zur Kraft. Die Kreiselpräzession ist das geometrische Phänomen, dass ein Drehmoment an einem rotierenden Körper die Drehachse präzedieren lässt (langsam herumdrehen) statt sie unmittelbar zu kippen: die Reaktion steht senkrecht zu Spin und Drehmoment, weil der Drehimpuls ein Pseudovektor ist und sich das Drehmoment vektoriell zu ihm addiert. Keplers zweites Gesetz — ein Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen — ist Drehimpulserhaltung um die Sonne. Die Quantenmechanik macht den Drehimpuls quantisiert: der Bahndrehimpuls hat Eigenwerte ℏ·√(l(l+1)) für l = 0, 1, 2, …, der Spin-Drehimpuls bei Fermionen halbzahlige Werte. Das Spin-Statistik-Theorem (Pauli, 1940) verknüpft Drehimpuls und Teilchenstatistik: halbzahliger Spin → Fermion → Pauli-Ausschluss; ganzzahliger Spin → Boson → Bose-Einstein-Statistik. Jedes Elementarteilchen trägt einen bestimmten intrinsischen Spin — Elektronen, Protonen, Neutronen alle Spin-½; Photonen Spin-1; das Higgs Spin-0; das hypothetische Graviton Spin-2. Der Noether-Satz: der Drehimpuls bleibt erhalten, weil die Naturgesetze invariant unter Rotation sind — sie sehen in jeder Richtung gleich aus.

Warum jetztDie Lageregelung von Raumfahrzeugen hält die Orientierung über Drallräder und Kreisel, ohne Treibstoff zu verbrennen. Die Magnetresonanztomographie (MRT) bildet Weichgewebe über kernmagnetische Momente ab — proportional zum Kerndrehimpuls. Die Spintronik — ein junges Feld, das den Elektronenspin statt der Ladung als Rechenmedium nutzt — verspricht Speicher und Logik mit geringerem Energiebedarf. Astrophysikalische Objekte verdanken einen großen Teil ihres Charakters der Drehimpulserhaltung: Akkretionsscheiben bilden sich, weil einfallende Materie ihren Drehimpuls nicht so leicht loswird; Neutronensternspins werden vom Kollaps geerbt; Schwarzlochspins sind durch die Kerr-Lösung nach oben begrenzt. Die Vorführung mit der Eiskunstläuferin, mit der Studierende in den Drehimpuls eingeführt werden, ist dieselbe Physik, die MRT-Scanner, Navigationskreisel und die Entstehung jedes Planetensystems antreibt.